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双曲线的性质及其应用研究

目录

前言2

1.双曲线的定义及方程3

1.1双曲线的定义3

1.2双曲线的方程4

2.双曲线的性质4

2.1双曲线的通径5

2.2双曲线的焦半径6

2.3双曲线的焦点三角形6

2.4等轴双曲线7

3.双曲线性质的应用7

3.1双曲线通径的应用7

3.2双曲线焦半径的应用11

3.3双曲线焦点三角形的应用12

3.4等轴双曲线的应用14

3.5双曲线性质的综合应用15

4.小结14

参文献14

1

摘要:双曲线是中学数学教学中的内容之一,用双曲线的性质解题有其独特的

方法，本文从双曲线的性质出发，阐述了双曲线的通径、焦半径、焦点三角形、等

轴双曲线等性质，并对应用双曲线性质解题进行了分析.

关键词：双曲线性质;应用;探究

中图分类号:G632.4

前言

双曲线是在对圆锥曲线的不断探究中演变发展而来的,希腊数学家柏拉图学

派的门奈赫莫斯首先发现并提出圆锥曲线这一概念,而后阿波罗尼奥斯在一定程

度上改进了门奈赫莫斯的方法,而圆锥曲线真正的建立与完善的标志是希腊数学

家帕普斯的著作《汇编》⑴.双曲线作为几何数学中的一个很重要的概念,不仅是

数学研究的对象，同时作为解析几何的基本内容,是几何学研究的重要课题之一,

同样也是圆锥曲线中的一种特殊曲线.在高中数学中圆锥曲线是极其重要一个教

学内容，是比较难的知识，圆锥曲线不仅仅在高中数学中有所涉及和讲解，同时它

在现实生活中也有着非常重要的地位和作用.一方面双曲线能在一定程度上培养

学生的审美能力，另一方面圆锥曲线也是学生理论联系实际开拓视野的理想内容,

对双曲线的学习和探究过程能很好地培养了学生的动手制作能力和实验探究能

力，同时培养学生理论联系实际解决问题的基本技能,进一步培养学生对运动变化

和统一观点的认识.数学问题模型化作为解决数学问题的一种重要思想在数学学

习中运用广泛，而双曲线代数化主要就是构造一种实物作为数学问题的元素，把数

学问题中元素间抽象的相互关系解释为这种实物间的一种具体关系，于是抽象问

题就有了一种解释.实践表明，在对一些奇形怪状问题的求解过程中，运用双曲线

代数化的思想，构建和使用双曲线代数式有利于整体性的思问题、仓U造性的解

决问题，双曲线作为一种常用的数学模型，其构造和使用能使问题变得简单，而通

过建立双曲线代数关系，运用双曲线思想解决问题在高中数学中有如下体现:解方

程、解不等式、求函数值域、确定字胃的取值以及确定移动物体的位置,同样双

曲线在实际生活中也有一定的运用，在航空航天中脱离引力场的航天器在飞离地

2

球的过程中所飞行的轨迹，在以地球为原点的坐标系中看到的就是一个双曲线轨

迹，总之，双曲线的一系列性质对我们的学习生活有着很大的影响,因此对双曲线

的通径、焦半径、焦点三角形以及等轴双曲线等性质进行分析并将它们运用到解

决实际问题中去，能帽帮助读者理解双曲线性质的实际意义,切实体会双曲线性质

及其思想方法⑵.

1.双曲线的定义及其方程

1.1双曲线的定义

1.1.］《圆锥曲线论》对双曲线的阐述

双曲线的定义是依附于圆锥曲面产生的.在《圆锥曲线论》中,阿波罗尼奥斯

从双曲线的定义分析依附于他定义的超曲线.由超曲线特点来看，超曲线是用不平

行胃线且与底圆相交地平面取截取圆锥，所得的截面即为超曲线，也就是现在所说

的双曲线的一支.通过截面截取圆锥的方式可以求得超曲线的方程为:

y1=x(p+—)=—(2ax+x2).

lala

在给出超曲线的定义后，阿波罗尼奥斯再次通过两个对顶的圆锥得到了二相

对截线的定义，这就是现在所说的双曲线.在超曲线定义的基础上,给出了二相对

截线的定义即就是现在的双曲线的定义.阿波罗尼奥斯并不是直接给出双曲线的

确切定义，而是从双曲线一支入手.通过一系列证明才给出了双曲线的定义.他用

一个不过顶点的平面去截取一个对项圆锥，得到的两个截线都是超曲线，并且这两

个超曲线有共同的直径、横