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《概率论》期末考试试卷测试题

一、选择题（每题3分，共15分）

1.设事件\(A\)与\(B\)互不相容，且\(P(A)0\)，\(P(B)0\)，则有（）

A.\(P(\overline{A}\overline{B})=0\)

B.\(P(AB)=P(A)P(B)\)

C.\(P(A\overline{B})=P(A)\)

D.\(P(A\cupB)=1\)

答案：C

解析：

选项A：因为\(A\)与\(B\)互不相容，即\(AB=\varnothing\)，\(\overline{A}\overline{B}=\overline{A\cupB}\)，\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\neq1\)，所以\(P(\overline{A}\overline{B})=1P(A\cupB)\neq0\)，A错误。

选项B：互不相容事件不满足\(P(AB)=P(A)P(B)\)，\(P(AB)=0\)，而\(P(A)P(B)0\)，B错误。

选项C：\(A\overline{B}=AAB\)，由于\(AB=\varnothing\)，所以\(P(A\overline{B})=P(AAB)=P(A)P(AB)=P(A)\)，C正确。

选项D：\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)，仅知道\(P(A)0\)，\(P(B)0\)，不一定有\(P(A\cupB)=1\)，D错误。

2.设随机变量\(X\simN(2,4)\)，则\(D(\frac{1}{2}X)\)的值为（）

A.\(1\)

B.\(2\)

C.\(\frac{1}{2}\)

D.\(4\)

答案：A

解析：已知\(X\simN(2,4)\)，则\(D(X)=4\)。根据方差的性质\(D(kX)=k^{2}D(X)\)，这里\(k=\frac{1}{2}\)，所以\(D(\frac{1}{2}X)=(\frac{1}{2})^{2}D(X)=\frac{1}{4}\times4=1\)。

3.设随机变量\(X\)的概率密度为\(f(x)=\begin{cases}2x,0x1\\0,\text{其他}\end{cases}\)，则\(P\{X\leqslant0.5\}\)的值为（）

A.\(0.25\)

B.\(0.5\)

C.\(0.75\)

D.\(1\)

答案：A

解析：根据概率密度函数求概率\(P\{X\leqslant0.5\}=\int_{\infty}^{0.5}f(x)dx\)，因为\(f(x)\)在\(x\notin(0,1)\)时为\(0\)，所以\(P\{X\leqslant0.5\}=\int_{0}^{0.5}2xdx=x^{2}\big|_{0}^{0.5}=0.250=0.25\)。

4.设\(X\)，\(Y\)是两个随机变量，且\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，\(\rho_{XY}=0.5\)，则\(D(XY)\)的值为（）

A.\(1\)

B.\(7\)

C.\(13\)

D.\(19\)

答案：B

解析：根据方差的性质\(D(XY)=D(X)+D(Y)2\mathrm{Cov}(X,Y)\)，又因为\(\rho_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\)，已知\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，\(\rho_{XY}=0.5\)，则\(\mathrm{Cov}(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}=0.5\times\sqrt{4\times9}=3\)。所以\(D(XY)=4+92\times3=7\)。

5.设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)的样本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，则\(\overline{X}\)服从（）

A.\(N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)

B.\(N(\mu,\sigma^{2})\)

C.\(N(0,1)\)

D.\(N(n\mu,n\sigma^{2})\)

答案：A

解析：若\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)相互独立且\(X_i\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(i=1,2,\cdots,n\)，则\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\simN(\mu,\frac{\sigm