2026届高三体育单招数学强力提分复习 平面向量的数量积（讲义）（解析版）.docxVIP

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2026届高三体育单招数学强力提分复习

3.3平面向量的数量积（讲义）

目录

TOC\o1-3\h\z\u1 知识点01向量夹角 2

2 知识点02平面向量的数量积 2

3 知识点03向量数量积的运算性质 2

4 知识点04向量的投影 3

5 知识点05常见角的余弦值 3

6 题型一、判断向量夹角的大小 4

7 题型二、向量的数量积的运算 8

8 题型三、向量夹角的余弦值 11

9 题型四、向量垂直 14

10 题型五、向量的投影和投影向量 17

知识点01向量夹角

已知两个非零向量a与b

θθ为钝角①a与b

θ

θ为钝角

θ

θ

θ为锐角

②a与b在平面内共起点时所形成的角度；如图

θ为锐角θ

θ为锐角

θ

θ为钝角

θ

知识点02平面向量的数量积

定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作

数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数λ，则：

①a

②(λ

③(

知识点03向量数量积的运算性质

设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则

①e

②a

③当a与b同向时，a?b=|a||b

④a?a

⑤cos

知识点04向量的投影

向量的投影长度

①定义：向量的投影长度（也称为标量投影）是指一个向量在另一个向量方向上的“分量”的大小。它是一个标量值，表示一个向量在另一个向量方向上的“影子”有多长。

②投影长度的公式

a在b方向上的投影长度：a

b在a方向上的投影长度：a

向量的投影向量

设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ,b|b|与b是方向相同的单位向量，AB=a,CD=b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1,B1，得到A

知识点05常见角的余弦值

角度

0

3

4

60

9

12

13

1

1

弧度

0

π

π

π

π

2π

3π

5π

π

cos

1

3

2

1

0

?

?

?

?1

题型一、判断向量夹角的大小

1．△ABC中，“AB?AC0”是“A

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据数量积的定义和充分条件、必要条件的定义即可求解.

【详解】由AB?AC=

又因为在△ABC中，AB,AC∈0,π

若A是钝角，则cosAB,AC0，则

所以在△ABC中，“AB?AC0

故选：C.

2．如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量a，b，c，d的判断正确的是（????）

A．a?b0

C．b?c0

【答案】C

【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断.

【详解】由平面向量数量积的定义得

由图可知，a→,b

a→,d

b→,c

b→,d

故选：C.

3．在△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=60°，则AB?

A．12 B．6 C．?6 D．?12

【答案】C

【分析】利用向量数量积的定义求解.

【详解】△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=60°，AB与BC的夹角为角

则AB?

故选：C

4．在△ABC中，若AB?BC0，则角B

A．0,π2 B．0,π2 C．

【答案】C

【分析】根据数量积定义可得.

【详解】因为AB

所以BA?BC

又因为角B为△ABC的内角，

所以π2

故选：C

5．在△ABC中，AB=a,AC=

A．△ABC一定为钝角三角形 B．△ABC一定不为直角三角形

C．△ABC一定为锐角三角形 D．△ABC可为任意三角形

【答案】D

【分析】根据数量积的概念即可判断∠BAC为锐角，再利用三角形的定义判断即可.

【详解】因为a?b0，所以a

所以∠BAC为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定△ABC的形状，

故△ABC可为任意三角形.

故选：D

6．设a,b是不共线的两个向量，若命题p：a?b0，命题q：a

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】因为向量a和b是不共线的两个向量，

由a?b0，可得cosa,

反之，若a和b的夹角为锐角，可得cosa,b

所以命题p是命题q成立的充要条件．

故选：C．

7．在△ABC中，下列说法错误的是（????）

A．“AB+AC=

B．“AB+AC

C．“AB?AC0

D．“AB?AC0

【答案】C

【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的概念，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由AB+AC=

平方可得AB2+AC

所以AB⊥AC，所以

若∠A为直角，可得