专题 二次函数中特殊三角形的存在性60题专练 中考数学.pdfVIP

专题06二次函数中特殊三角形的存在性（八大题型）62题专练

压轴题密押

通用的解题思路：

特殊三角形的讨论问题，见于中考试卷的压轴题中，其融合了特殊三角形的性质、相似三角形

的判定及性质、锐角三角比的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等

数学思想。虽部分特殊三角形的存在性问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单

一噗式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形本身的性质入手，结合边、

角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。

一：等腰三角形的存在性

根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）月庐4G（2）除。；（3）。=.但

根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更

多的解，在解撅时需要尤其注意.

解题思路：

（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；

（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）

（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根.

二：直角三角形的存在性

在考虑AABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①NA=90°；②/B=90°：③

NC=90°.在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股

定理。

解题思路：

（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；

（2）计算出相应的边长等信息；

（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标.

三：等腰直角三角形的存在性

既要结合等腰三角形的性质，又要结合直角三角形的性质。需要分类讨论哪个角是直角。

四：相似三角形的存在性

相似三角形存在性问题，分类讨论步骤：

第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角；

要先确定己知三角形是否有直角，或确定锐角（借助三角函数值-初中阶段衡量角度问题的计算手

段，二次函数角的存在性压轴专题应用更为突出）

①若有已知的相等角，则其顶点对应；

②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。

第二步：确定相似后，根据对应边成比例求动点坐标：

①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边

的大小；

②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数析式来表示各边的长度，之

后用相似来列方程求。

压轴题预测

题型一：等腰三角形的存在性

1.2（024•运城模拟）综合与探究

如图，抛物线），=-（丁+1X+6与x轴交于A,8两点（点A在点8的左侧），与），轴交于点C,。是第一

象限抛物线上的一个动点，若点。的横坐标为机，连接AC,BC,BD,CD.

（1）求A,B,C三点的坐标，并直接写出直线8c的函数表达式.

2（）当四边形ACD4的面积有最大值时，求出，〃的值.

3（）在2（）的条件下，在x轴上是否存在一点使A/VW是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的

4

2.(2024•青岛一模)如图1,已矢I二次函数)，=aP+/x+c(aH0)的图象与y轴交于点40,4).与x轴交于

点B,C,点C坐标为(8,0),连接49、AC.

(1)请直接写出二次函数y=ar+|x+c(aw0)的表达式：

(2)判断A43C的形状，并说明理由；

(3)如图2,若点N在线段3C上运动(不与点8,。重合)，过点N作NM//AC,交AB于点M,当4LWV

面积最大时，求此时点N的坐标；

(4)若点N在x轴上运动，当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标.

3.（2024•辽宁一模）如