定积分的物理应用.pptVIP

第一次锤击时所作的功为设n次击入的总深度为h厘米n次锤击所作的总功为依题意知，每次锤击所作的功相等．n次击入的总深度为第n次击入的深度为xoh例2-4(99考研)解作x轴如图.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口,在提升过程中污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重将抓起污泥的抓斗由x提升dx所作的功为400N,缆绳每米重50N,提升抓斗中的污泥:克服缆绳重:抓斗升至x处所需时间:克服抓斗自重:井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m∕s,污泥以20N∕s的速度从抓斗缝隙中漏掉定积分的物理应用一、平面物质线段的质量一、平面物质线段的质量已知在闭区间[a,b]上的物质直线段L，线密度为?(x)，且?(x)是连续函数，求线段L的质量.质量元素：从而线段L的质量为L例1一金属棒长3(m)，离棒左端x(m)处的线密度为?(x)=问：x为何值时，[0,x]一段的质量为全棒的一半？解[0,x]上一段的质量为而全棒的质量为M(3)=2,01故依题意有02二、功O问题：设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x＝a移动到x=b，力的方向与运动方向平行，求变力所作的功.由物理学，已知常力F0将质点从点a移至b,所作的功为：1.变力沿直线所作的功功W具有可用定积分计算的量的三个特征，故可考虑用定积分的“元素法”来计算.功元素：注当力的方向与质点的运动方向一致时，W为正；当力的方向与质点的运动方向相反时，W为负.xo例2自地面垂直地向上发射火箭.设火箭的质量为m,求：(1)火箭离开地面距离为h时，克服地球引力所作的功W;(2)若要火箭飞离地球，火箭的初始速度v0至少为多少？解(1)1°建立坐标系(如图)rO设地球的质量为M,半径为R.地平面2o由万有引力定律，rO地平面?r?用于克服地球引力的外力：地球对位于点r处的火箭的引力：?h?r+dr功元素：R?地心若要火箭飞离地球，则火箭的初始动能至少要等于火箭飞离地球时克服地球引力所作的功(即由此功全部转化成的火箭的位能)01第二宇宙速度02(2)当火箭飞离地球时，即2.从容器中抽出液体作的功一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.例3分析把一桶重量为P的水(看成质点),提到高度为h的地方，克服重力所作的功为：然而，现在的情形是将池内的水连续不断地问：要把池内的水全部吸出，需作多少功？点击图片任意处播放\暂停抽出，而不是象提水桶那样，整体一下子提到某一高度。在水被抽出的过程中，液面到池口的距离是一个变量.解决的方法：把池中的水分成若干层，则“把池中的水抽空所作的功”=“分别把每层水从池中抽出所作的功的和”.而“把每层水从池中抽出所作的功”?“把这层水看成一个整体从池中提到池口所作的功”.建立坐标系如图(千焦)．这一薄层水的重力元素为:解功元素：设液体密度为?,深为h处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用定积分来解决.平板一侧所受的压力为??面积为A的平板三、液体侧压力例4小窄条上各点的压强近似相等为?的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解建立坐标系如图.所论半圆利用对称性,侧压力元素的方程为一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度端面所受侧压力为注1°当桶内充满液体时,小窄条上的压强近似为为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数2°对于选定的坐标系，平板边界曲线的方程，水深，积分区间一定要匹配！质量分别为的质点,相距r,二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,回顾：两质点的引力则需用积分解决.四、引力问题例5设有一长度为l,线密度为?的均匀细直棒,在其中垂