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等时圆模型

1.“等时圆”模型

所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＝\r(\f(2h,g))＝\r(\f(4R,g))))。

2.模型的三种情况

(1)物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示。

(2)物体从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。

(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，物体沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。

例题(多选)如图1所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环(未画出)，两个滑环从O点无初速度释放，一个滑环从d点无初速度释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a或b所用的时间。下列关系正确的是()

图1

A.t1＝t2 B.t2t3

C.t1t2 D.t1＝t3

听课笔记

1.如图2所示，OC为竖直圆的直径，OA、OB为圆的两条弦，现同时在A、B两点释放两小滑块，分别沿光滑的弦轨道滑到O点(O点为最低点)，滑块滑下的先后顺序是()

图2

A.沿AO的小滑块最先到达

B.沿BO的小滑块最先到达

C.同时到达

D.条件不足，无法判断

2.如图3所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α＞β＞θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为()

图3

A.tAB＝tCD＝tEF B.tAB＞tCD＞tEF

C.tAB＜tCD＜tEF D.tAB＝tCD＜tEF

3.(2024·山东临沂高三期末)如图4所示，倾角为θ的斜面固定在水平地面上，在与斜面共面的平面上方A点伸出三根光滑轻质细杆至斜面上B、C、D三点，其中AC与斜面垂直，且∠BAC＝∠DAC＝θ(θ45°)，现有三个质量均为m的小圆环(看作质点)分别套在三根细杆上，依次从A点由静止滑下，滑到斜面上B、C、D三点所用时间分别为tB、tC、tD，下列说法正确的是()

图4

A.tBtCtD B.tB＝tCtD

C.tBtCtD D.tBtC＝tD

4.如图5所示，在竖直墙面上有A、B两点，地面上有M点，A、M连线与水平面成45°角，B点在A点上方，C点位于M点正上方且与A等高。现在AM、BM之间架设光滑轨道，让三个小球a、b、c分别由静止从A、B、C三点分别沿轨道AM、BM运动和自由下落，不计空气阻力，则a、b、c运动到地面所需的时间ta、tb、tc关系是()

图5

A.tbtatc B.tbta＝tc

C.ta＝tb＝tc D.ta＝tbtc