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1
双曲线的性质及其应用研究
目录
前言 2
1.双曲线的定义及方程 3
1.1双曲线的定义 3
1.2双曲线的方程 4
2.双曲线的性质 4
2.1双曲线的通径 5
2.2双曲线的焦半径 6
2.3双曲线的焦点三角形 6
2.4等轴双曲线 7
3.双曲线性质的应用 7
3.1双曲线通径的应用 7
3.2双曲线焦半径的应用 11
3.3双曲线焦点三角形的应用 12
3.4等轴双曲线的应用 14
3.5双曲线性质的综合应用 15
4.小结 14
参考文献 14
2
摘要:双曲线是中学数学教学中的内容之一,用双曲线的性质解题有其独特的方法,本文从双曲线的性质出发,阐述了双曲线的通径、焦半径、焦点三角形、等轴双曲线等性质,并对应用双曲线性质解题进行了分析.
关键词:双曲线性质;应用;探究
中图分类号:G632.4
前言
双曲线是在对圆锥曲线的不断探究中演变发展而来的,希腊数学家柏拉图学派的门奈赫莫斯首先发现并提出圆锥曲线这一概念,而后阿波罗尼奥斯在一定程度上改进了门奈赫莫斯的方法,而圆锥曲线真正的建立与完善的标志是希腊数学家帕普斯的著作《汇编》[11.双曲线作为几何数学中的一个很重要的概念,不仅是数学研究的对象,同时作为解析几何的基本内容,是几何学研究的重要课题之一,同样也是圆锥曲线中的一种特殊曲线.在高中数学中圆锥曲线是极其重要一个教学内容,是比较难的知识,圆锥曲线不仅仅在高中数学中有所涉及和讲解,同时它在现实生活中也有着非常重要的地位和作用.一方面双曲线能在一定程度上培养学生的审美能力,另一方面圆锥曲线也是学生理论联系实际开拓视野的理想内容,对双曲线的学习和探究过程能很好地培养了学生的动手制作能力和实验探究能力,同时培养学生理论联系实际解决问题的基本技能,进一步培养学生对运动变化和统一观点的认识.数学问题模型化作为解决数学问题的一种重要思想在数学学习中运用广泛,而双曲线代数化主要就是构造一种实物作为数学问题的元素,把数学问题中元素间抽象的相互关系解释为这种实物间的一种具体关系,于是抽象问题就有了一种解释.实践表明,在对一些奇形怪状问题的求解过程中,运用双曲线代数化的思想,构建和使用双曲线代数式有利于整体性的思考问题、创造性的解决问题,双曲线作为一种常用的数学模型,其构造和使用能使问题变得简单,而通过建立双曲线代数关系,运用双曲线思想解决问题在高中数学中有如下体现:解方程、解不等式、求函数值域、确定字母的取值以及确定移动物体的位置,同样双曲线在实际生活中也有一定的运用,在航空航天中脱离引力场的航天器在飞离地
3
球的过程中所飞行的轨迹,在以地球为原点的坐标系中看到的就是一个双曲线轨迹,总之,双曲线的一系列性质对我们的学习生活有着很大的影响,因此对双曲线的通径、焦半径、焦点三角形以及等轴双曲线等性质进行分析并将它们运用到解决实际问题中去,能够帮助读者理解双曲线性质的实际意义,切实体会双曲线性质及其思想方法[21.
1.双曲线的定义及其方程
1.1双曲线的定义
1.1.1《圆锥曲线论》对双曲线的阐述
双曲线的定义是依附于圆锥曲面产生的.在《圆锥曲线论》中,阿波罗尼奥斯从双曲线的定义分析依附于他定义的超曲线.由超曲线特点来看,超曲线是用不平行母线且与底圆相交地平面取截取圆锥,所得的截面即为超曲线,也就是现在所说的双曲线的一支.通过截面截取圆锥的方式可以求得超曲线的方程为:
在给出超曲线的定义后,阿波罗尼奥斯再次通过两个对顶的圆锥得到了二相对截线的定义,这就是现在所说的双曲线.在超曲线定义的基础上,给出了二相对截线的定义,即就是现在的双曲线的定义.阿波罗尼奥斯并不是直接给出双曲线的确切定义,而是从双曲线一支入手.通过一系列证明才给出了双曲线的定义.他用一个不过顶点的平面去截取一个对项圆锥,得到的两个截线都是超曲线,并且这两个超曲线有共同的直径、横截边、相等的参量,这也就说明了这两条超曲线的联系,也就隐含了双曲线一支和双曲线另一支的一致性.
因此在书中诸多命题的证明中,阿波罗尼奥斯只是证明了超曲线的有关部分,因为明确两者内在的联系,对于双曲线的有关部分,阿波罗尼奥斯并没有单独给出详细的证明.在给出了双曲线的定义之后,阿波罗尼奥斯在第I卷的21命题又证明了曲线方程表达式的变式形式,也可以说是双曲线的另一种代数表达式,其证明的
方程为,这种形式与现在的双曲线表达式非常接近.
4
1.1.2高中知识体系对双曲线的定义
高中知识体系对双曲线的定义有两种:一种是静态定义、一种是动态定义.
其中,双曲线的静态
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