大数定律及中心极限定理(1)课件.PPTVIP

********超級鏈接到極限定理演示***超級鏈接到:隨機變數-----二項分佈及兩種近似***大數定律與中心極限定理一、大數定律定義設隨機變數序列{Xn}，如果存在一個常數a，使得對任意的ε0，有=1則稱依概率收斂於a,記作定義設隨機變數序列{Xn}，記Yn=1/n(X1+X2+…+Xn)，如果存在一個常數序列an，使得對任意的ε0，有=1則稱隨機變數序列{Xn}服從大數定律大數定律二、切比紹夫不等式設隨機變數X的方差存在(這時均值也存在),則對任意正數ε有下麵不等式成立例5.2.1.設X~用切貝紹夫不等式證明證明:EX==n+1EX2==(n+1)(n+2)所以,DX=EX2-(EX)2=n+1[這裏,ε=n+1]1.設隨機變數X的方差D(X)=0.0001,則由切比紹夫不等式可知P{|X-E(X)|3×0.01}≥().2.設隨機變數X~E(1/n),用切比紹夫不等式證明P{-1X2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)3.設P{|X-E(X)|ε}不小於0.9,D(X)=0.009.則用切比紹夫不等式估計ε的最小值是().課堂練習0.34.(894)設隨機變數X的數學期望為μ,標準差為σ,則由切比紹夫不等式P{|X-μ|≥3σ}≤().5.設隨機變數X的分佈律為P{X=0.3}=0.2,P{X=0.6}=0.8,用切比紹夫不等式估計|X-E(X)|0.2的概率.1/9定理（切比雪夫大數定律）設隨機變數序列{Xn}相互獨立，且均存在有限方差，且方差D(Xn)≤C(n=1,2,...),其中常數C與n無關，則對任意的ε0，有三、幾個常見的大數定律定理（辛欽大數定律）設隨機變數序列{Xn}相互獨立，服從同一分佈，且有相同的期望E(Xn)=?，則對任意的ε0，有定理（貝努裏利大數定律）設每次實驗中事件A發生的概率為p，n次重複獨立實驗中事件A發生的次數為nA，則對任意的ε0，事件的頻率，有定理設X~N(μ,σ2),則Y~N(0,1).所以，若X~N(μ,σ2),則P{Xa}=P{Xa}=P{aXb}=X~N(μ,σ2)定義：一般地,若在一次實驗中成功的概率為p(0p1),獨立重複進行n次,這n次中實驗成功的次數X服從的分佈為二項分佈:X～B(n,p)復習第5.3節中心極限定理定義：若相互獨立隨機變數序列{Xn}的標準化和使得則稱隨機變數序列{Xn}服從中心極限定理定理（列維—林德貝格定理(i.i.d下中心極限定理)）設X1,X2,…,Xn,…為獨立同分佈序列,期望μ,方差σ20,則當n充分大時,所以注意(1)一般地,只要n比較大,就可應用以上定理;(2)應用該定理時,需要找出獨立同分佈的隨機變數序列以及它們的期望和方差,再應用正態分佈的有關計算方法.例5.3.1.用機器包裝味精,每袋味精淨重為隨機變數,期望值為100克,標準差為10克,一箱內裝200袋味精,求一箱味精淨重大於20500克的概率?解:設一箱味精淨重為X,箱中第i袋味精淨重為Xi,(i=1,2,…,200)則X1,X2,…,X200獨立同分佈,EXi=100,DXi=102=100,且由獨立同分佈的中心極限定理得:X近似服從正態分佈,且EX=200EXi=20000,DX=200DXi=20000,所求為P(X20500)=1-P(X≤20500)=0.0002故一箱味精淨重大於20500的概率為0.0002.特別，若X～Ｂ（n，p）,則當n充分大時，推論:即若隨機變數Ｘ～Ｂ（n，p），則對任意實數x有Ｘ～Ｎ（np，npq）注意(1)以上定理稱為棣莫佛---拉普拉斯中心極限定理.它表示當n重Bernoulli實驗次數很大時(n≥100,p接近於0.5),二項分佈可用正態分佈近似逼近,期望為np,方差為npq.(2)P{X=m}=P{m-0.5X≤m+0.5}此處區間越小越精確,習慣上取長度為1的對稱區間********超級鏈接到極限定理演示*