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论直线上点的从属性、定比性的应用

摘要:点的投影是基础，直线上的点具有从属性、定比性，看似简单的性质在实际投影作图中能起到简化、准确地划分直线段，判定点和直线相对的空间位置的作用。

???????关键词:点?直线?投影?定比性??????????

???????一、直线上的点具有两个特性

???????1．从属性?若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。

???????如下图1（a）中的C点，AC:CB=ac:cb=a′c′:c′b′=a′′c′′:c′′b′′，点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同名投影上，并且符合点的投影规律。

???????2．定比性?属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即

???????直线AB上的点C，其投影c′、c、c″，分别位于a′b′、ab和a″b″上，且c′c和c′c″分别垂直于相应的投影轴。

???????若直线上的点分线段成比例，则该点的各投影也相应分线段的同面投影成相同的比例。在下图1（b）中，C点把直线AB分为AC、CB两段，则有：

图1?直线上的点

二、直线上点的两个特性的应用

???????1．分线段为定比

???????举例1：如下图2（a）所示，在直线AB上找一点K，使AK∶KB=2∶3。

???????分析：由点在直线上的投影特性可知，AK∶KB=2∶3，则其投影a′k′∶k′b′=ak∶kb=2∶3。因此只要用平面几何作图的方法，把ab或a′b′分为2∶3，即可求得点K的投影k、k′。

???????作图方法如下：

???????图2??分线段为定比

???????举例2：如下图3所示已知点C在直线AB上，且AC=20,求C点的投影。

???分析：可采用直角三角形法在V面上求出AC实长，在AC实长上取20，定出C点位置。根据定比性在V面上找到C′，根据点的投影作图方法，进一步找到在H面的投影C。

???????图3??分线段为定比

???????2.判断已知点是否在直线上。如下图4所示。

???????图4??判断点是否在直线上的情形

???????举例：判断下图5（a）所示的点K，是否在侧平线AB上。

???????分析：由直线上点的投影特性可知，如果点K在直线AB上，则a′k′∶k′b′=ak∶kb。因此，可用这一定比关系来判定点K是否在直线AB上。另外，如果点K在直线AB上，则k″应在a″b″上。所以也可用它们的侧面投影来判定。

????????????

???????图5??判定点是否在直线上

???????作图方法一：用定比性来判定，见上图5（b）。

???????（1）在水平投影上过b任作一直线，取bk1=b′k′、k1a1=k′a′。

???????（2）连接a1、a，过k1作a1a的平行线，它与ab的交点不是k，这说明a′k′∶k′b′≠ak∶kb。由此可判定点K不在直线AB上。

???????利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。

???????作图方法二：用直线上点的投影规律来判定，见上图5（c）。

???????分别补出点K和直线AB的侧面投影k″和a″b″，可以看出k″不在a″b″上，由此也可判定点K不在直线AB上。

???????3.辅助求直线的投影

???????举例：如下图6，已知四边形ABCD的V投影及其两条边的H投影，试完成整个H投影。

???????分析：由于四边形ABCD对角线相交，所以，根据两线相交的投影特性，即可完成四边形ABCD的水平投影问题。

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???????图6??求平面四边形的正面投影

???????由上可知熟练掌握点的投影特性在完成点、直线投影的过程中能提高作图效率和效果。

???????参考文献

???????1.《建筑制图与识图》主编?何培斌?重庆大学出版社

???????2.《建筑制图与识图习题集》主编??张喆???北京邮电大学出版社