函数及其性质--高考数学考前三个月速记清单.docx

专题三?函数及其性质——高考数学考前三个月速记清单

一、函数的性质及其应用

（一）函数的概念

三要素：定义域（解析式有意义），对应关系（常用换元法求解析式），值域（由定义域与对应关系共同确定）；

分段函数：“分段”研究；

复合函数：“分层”研究；

抽象函数：常用“赋值法”.

（二）函数的性质

函数的单调性

优先确定函数的定义域；

复合函数单调性（同增异减）.

函数的最值

定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：

，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最大值.

定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：

，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最小值.

函数的奇偶性

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.

确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.

对于偶函数而言，有.

函数的周期性

定义：

图像特征：图像按一定规律重复出现.

函数的对称性

若函数满足，即，则的图像关于直线对称；

若函数满足，即，则的图像关于点对称；

若函数满足，则的图像关于直线对称.

二、基本初等函数

（一）指数与对数的七个运算公式

.

2..

3..

4..

5.

6.

7..

（二）指数函数与对数函数的图像与性质

指数函数

对数函数

图像

单调性

0a1时，在R上单调递减；

a1时，在R上单调递增

0a1时，在上单调递减；

a1时，在上单调递增

指数函数

对数函数

函数值性质

0a1，

当x0时，0y1；

当x0时，y1

0a1，

当x1时，y0；

当0x1时，y0

a1，

当x0时，y1；

当x0时，0y1

a1，

当x1时，y0；

当0x1时，y0

（三）幂函数的图象与性质

函数

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x

y＝eq\f(1,x)

定义域

R

R

R

{x|x≥0}

{x|x≠0}

值域

R

{y|y≥0}

R

{y|y≥0}

{y|y≠0}

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非

偶函数

奇函数

单调性

在R上

递增

在(－∞，0)

上递减，

在(0，＋∞)

上递增

在R上

递增

在(0，＋∞)

上递增

在(－∞，0)

和(0，＋∞)

上递减

图象

过定点

(0,0)，(1,1)

(1,1)

幂函数在区间(0,＋∞)上，当时，是增函数；当时，是减函数．

（四）函数与方程

1.函数的零点及函数的零点与方程根的关系

对于函数f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.

2.零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的一个根．

3.函数f(x)的图像与x轴有公共点方程f(x)＝0有实数根函数f(x)有零点.

(五）函数与方程及应用

1.方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点.

2.思想方法：

数学方法：图象法、分离参数法、最值的求法．

数学思想：数形结合、转化与化归、函数与方程．

（六）判断函数零点个数的方法

1.直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．

2.零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．

3.数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

（七）易错易混

1.判断函数奇偶性时忽略定义域；

2.利用换元法证明或求解时忽略“新元”的范围变化；

3.混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念；

4.忽略指数、对数函数的限制条件；

5.运算变形时忽视条件的等价性；

6.忽视零点存在定理的条件（曲线需连续）；

7.忽略实际问题中的变量范围.