冲刺2025高考数学 抢分秘籍导数及其应用（九大题型）（含答案解析）新高考专用.pdfVIP

导数及其应用

题型概览

目录

【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略(含押题型)

【题型一】切线问题

【题型二】极值与极值点

【题型三】含参讨论单调性

【题型四】恒成立求参

【题型五】能成立求参

【题型六】零点问题

【题型七】隐零点问题

【题型八】构造函数求参

【题型九】多变量问题

【误区点拨】

易错点1:①除法求导要注意分子是相减，分母带平方；

②复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即y=y·u.

易错点2:使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，还需要对这些点左右两

侧导函数的符号进行判断

解密高考

考情分析|:导数在新结构试卷中的考察重点偏向于小题，原属于导数的压轴题有所改变，但导数在高

考中的考察依然属于重点，题型很多，结合的内容也偏多，比如常出现的比较大小和恒成立问题等都结合

着构造函数的思想.

备考策略

:在处理含对数的等式、不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新

函数求导时，就不含对数了，从而避免了多次求导.这种让对数“孤军奋战”的变形过程，俗称之为“对

数单身狗”.

题型特训提分

【题型一】切线问题

【例1】已知函数f(x)=x3

(1)求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程；

(2)求过点(-1,-1)且与曲线y=f(x)相切的直线的切点坐标.

【答案】(1)3x-y-2=0

或(-1,-1)

(2)(2)

【分析】(1)求出f(1)的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程：

值，即可得出所求切点的坐标

【详解】(1)因为f(x)=x3,求导得f(x)=3x2,故f(1)=3,

因此，曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.

(2)设切点坐标为(t.t3),则曲线y=f(x)在点(t.t3)处的切线的斜率为32,

故所求切线方程为y-r3=3t2(x-t),

将点(-1,-1)的坐标代入切线方程得-1-t3=32(-1-t),

整理可得2r3+3t2-1=0,即(2r-1)(t+1)2=0,解得1

或t=-1,

=

故所求切点的坐标为或(-1,-1).

)

【答案】2

f(x)=e1,g(x)=e,

故e?1=e=k,故x?=x-1,

f(x)=e上点A(x,,e1)处的切线方程为y-e?=e1(x-x,),

显然B(x,e-2)在切线上，故e3-2-e1=e?1(x-x?),

即e?1-2-e1=e?1(x,-1-x?),即e?1=2,

解得x=1+In2,

故k=e1+2-1=2.

故答案为：2

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】D

【分析】求f(x),利用导数的几何意义可求a的值.

【详解】由题意得，函数f(x)的定义域为(0,+),且

f(x)=1+2ax,

Df(1)=1+2a,

圆曲线f(x)在点Q(1,f(1))处的切线与直线x+4y+8=0垂直，

Of(1)=4,即1+2a=4,故

a=2

故选：D.

【变式2】过原点且与曲线y=xsinx相切的直线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】c

【分析】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即

可.

【详解】设切点(x,x,sinx?),因为曲线y=xsinx,所以y=sinx+xcosx,

所以sa=sinx+x.Cos所以x,cos?,

所以x=0或cosx,=0,

当x?=0时，所以k=0,所以切线方程为y-0=0(x-0),即y=0;

时，