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教案精品新课标高中数学人教A版必修四全册教案1.2.1任意角的三角函数

??一、教学目标

1.知识与技能目标

理解三角函数线的概念，能作出角的正弦线、余弦线和正切线。

掌握利用三角函数线比较三角函数值的大小及求解简单的三角不等式。

2.过程与方法目标

通过三角函数线的探究过程，培养学生的观察、分析、归纳能力，体会用几何方法解决代数问题的数学思想。

借助三角函数线，让学生直观地感受三角函数值的变化规律，加深对三角函数概念的理解。

3.情感态度与价值观目标

通过三角函数线的学习，让学生感受数学的严谨性和简洁性，激发学生学习数学的兴趣。

培养学生勇于探索、善于思考的学习态度，提高学生的数学素养。

二、教学重难点

1.教学重点

三角函数线的概念及作法。

利用三角函数线比较三角函数值的大小和求解三角不等式。

2.教学难点

对三角函数线概念的理解，尤其是正弦线、余弦线和正切线的方向与三角函数值正负的关系。

用三角函数线求解三角不等式时，对区间端点值的确定。

三、教学方法

讲授法、直观演示法、讨论法相结合。通过多媒体展示、实物演示等直观手段，引导学生自主探究、合作交流，理解和掌握三角函数线的相关知识。

四、教学过程

（一）复习导入

1.回顾任意角三角函数的定义：设角\(\alpha\)终边上任意一点\(P(x,y)\)，它与原点的距离为\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，则\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)\)。

2.提出问题：在单位圆中，能否用几何图形来表示这些三角函数值呢？从而引出本节课的主题三角函数线。

（二）探究新知

1.三角函数线的定义

设任意角\(\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P(x,y)\)。

过点\(P\)作\(x\)轴的垂线，垂足为\(M\)。

过点\(A(1,0)\)作单位圆的切线，这条切线必然平行于\(y\)轴（因为圆心\(O\)到切线的距离为半径\(1\)）。设它与\(\alpha\)的终边（当\(\alpha\)为第一、四象限角时）或其反向延长线（当\(\alpha\)为第二、三象限角时）相交于点\(T\)。

有向线段\(MP\)叫做角\(\alpha\)的正弦线，有向线段\(OM\)叫做角\(\alpha\)的余弦线，有向线段\(AT\)叫做角\(\alpha\)的正切线。

强调：这里的线段都是有向线段，方向与坐标轴的正方向一致时为正，相反时为负。

2.三角函数线的作法

以原点\(O\)为圆心，作单位圆。

已知角\(\alpha\)的终边\(OP\)。

过点\(P\)作\(x\)轴的垂线，垂足为\(M\)，得到正弦线\(MP\)和余弦线\(OM\)。

过点\(A(1,0)\)作单位圆的切线，与角\(\alpha\)的终边（或其反向延长线）相交于点\(T\)，得到正切线\(AT\)。

结合多媒体动画演示，详细展示不同象限角的三角函数线的作法，让学生直观感受。

例如，当\(\alpha\)为锐角时，在单位圆中作出角\(\alpha\)的终边，按照上述步骤作出正弦线\(MP\)、余弦线\(OM\)和正切线\(AT\)，并引导学生观察它们的方向和长度与三角函数值的关系。

3.利用三角函数线比较三角函数值的大小

例1：比较\(\sin\frac{\pi}{3}\)与\(\sin\frac{2\pi}{3}\)的大小。

首先，在单位圆中分别作出\(\frac{\pi}{3}\)和\(\frac{2\pi}{3}\)的终边。

然后，根据正弦线的定义，找到它们的正弦线\(MP_1\)和\(MP_2\)。

观察可得，\(MP_1\gtMP_2\)，所以\(\sin\frac{\pi}{3}\gt\sin\frac{2\pi}{3}\)。

总结方法：比较两个角的同名三角函数值大小，只要比较它们终边与单位圆交点的同名三角函数线的长度。

让学生练习：比较\(\cos\frac{\pi}{5}\)与\(\cos\frac{3\pi}{5}\)的大小。

学生完成后，进行点评，强化对利用三角函数线比较大小方法的理解。

4.利用三角函数线求解简单的三角不等式

例2：求解不等式\(\sin\alpha\geq\frac{1}{2}\)。

先在单位圆中作出\(y=\frac{1}{2}\)这条直线，它与单位圆相交于两点\(P_1\)、\(P_2\)。

然后找到满足\(\sin\alpha=\fra