2025届高考数学大一轮基础复习之必威体育精装版省市模拟精编三十二二元一次不等式组与简单的线性规划问题含解析.docVIP

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2024精编复习题（三十二）二元一次不等式（组）与简洁的线性规划问题

[小题对点练——点点落实]

对点练(一)二元一次不等式(组)表示的平面区域

1．(2024·青岛月考)若实数x，y满意不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥－1，,x＋y≥1，,3x－y≤3，))则该约束条件所围成的平面区域的面积是()

A．3 B．eq\f(\r(5),2)

C．2 D．2eq\r(2)

解析：选C因为直线x－y＝－1与x＋y＝1相互垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，

易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，

故|AB|＝eq\r(2)，|AC|＝2eq\r(2)，

所以其面积为eq\f(1,2)×|AB|×|AC|＝2.

2．在平面直角坐标系中，若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,y≤x，,y≤k?x－1?－1))表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是()

A．(－∞，－1)

B．(1，＋∞)

C．(－1,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：选A易知直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．

当直线y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y＝k(x－1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k的取值范围是(－∞，－1)．

3．(2024·山西临汾一中月考)不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是()

解析：选C由y(x＋y－2)≥0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,x＋y－2≥0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤0，,x＋y－2≤0，))所以不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项．

4．(2024·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为()

A．(－7,24)

B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)

C．(－24,7)

D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)

解析：选A由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)0，所以(a＋7)·(a－24)0，所以－7a24.

5．(2024·山东潍坊月考)直线x＋my＋1＝0与不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≥0，,2x－y≥0，,x－2≤0))表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是()

A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(1,3)))

C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，3)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,4)))

解析：选D由题意，知直线x＋my＋1＝0过定点D(－1,0)，作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示，当m＝0时，直线为x＝－1，此时直线和平面区域没有公共点，故m≠0.x＋my＋1＝0的斜截式方程为y＝－eq\f(1,m)x－eq\f(1,m)，斜率k＝－eq\f(1,m).

要使直线和平面区域有公共点，则直线x＋my＋1＝0的斜率k0，即k＝－eq\f(1,m)0，即m0，且满意kCD≤k≤kAD.

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,x－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))即C(2,1)，CD的斜率kCD＝eq\f(0－1,－1－2)＝eq\f(1,3).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))即A(2,4)，AD的斜率kAD＝eq\f(4－0,2－?－1?)＝eq\f(4,3)，即eq\f(1,3)≤k≤eq\f(4,3)，则eq\f(1,3)≤－eq\f(1,m)≤eq\f(4,3)，解得－3≤m≤－eq\f(3,4)，故选D.

对点练(二)简洁的线性规划问题

1．(2024·河南八市重点中学联考)已知△ABC中，A(1,1)，B(1,3)，C(1＋eq\r(3)，2)，若点(x，y)在三角形内部(不