2025届高考数学一轮复习第五章5.1平面向量的概念及其线性运算核心考点精准研析训练理含解析北师大版.docVIP

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第五章

核心考点·精准研析

考点一平面对量的基本概念?

1.下面说法正确的是 ()

A.平面内的单位向量是唯一的

B.全部单位向量的终点的集合为一个单位圆

C.全部的单位向量都是共线的

D.全部单位向量的模相等

【解析】选D.因为平面内的单位向量有多数个,所以选项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不肯定在同一个圆上,所以选项B错误;当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两个向量就不共线,所以选项C错误;因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.

2.给出下列命题:

①零向量是唯一没有方向的向量;

②零向量的长度等于0;

③若a,b都为非零向量,则使=0成立的条件是a与b反向共线.

其中错误的命题的个数为 ()

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选B.①错误,零向量是有方向的,其方向是随意的;②正确,由零向量的定义可知,零向量的长度为0;③正确,因为都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即a与b反向共线时才成立.

1.解答向量概念型题目的要点

(1)精确理解向量的有关学问,应重点把握两个要点:大小和方向.

(2)向量线性运算的结果仍是向量,精确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解.

2.(1)两个向量不能比较大小,只可以推断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.

(2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征.

(3)向量可以自由平移,随意一组平行向量都可以移到同始终线上.

考点二平面对量的线性运算?

【典例】1.(2024·全国卷I)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= ()

A.QUOTE-QUOTE B.QUOTE-QUOTE

C.QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE

2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=QUOTEAB,BE=QUOTEBC.若=λ1+λ2

(λ1、λ2为实数),则λ1+λ2的值为. 世纪金榜导学号?

【解题导思】

序号

联想解题

1

由“则=”及选项,想到平面对量线性运算.

2

由“=λ1+λ2”,想到平面对量线性运算

【解析】1.选A.如图所示

=-=-QUOTE=-QUOTE·QUOTE(+)

=QUOTE-QUOTE.

【一题多解】选A.在△ABC中,找到向量,,对于选项A,作出向量QUOTE,QUOTE,再作QUOTE-QUOTE,与向量比较,发觉相等,所以选A.

2.=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(+)=-QUOTE+QUOTE,所以λ1=-QUOTE,λ2=QUOTE,即λ1+λ2=QUOTE.

答案:QUOTE

1.平面对量的线性运算技巧

(1)不含图形的状况:可干脆运用相应运算法则求解.

(2)含图形的状况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.

2.三种运算法则的关注点

(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,平行四边形法则要求“起点相同”.

(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”.

(3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.

1.(2024·榆林模拟)已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且=2,则= ()

A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTE

C.QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE

【解析】选C.如图,因为=2,所以=QUOTE,所以=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+

QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE.

2.在△ABC中,点M,N满意=2,=.若=x+y,则x=;

y=.?

【解析】由已知,=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(-)=QUOTE-QUOTE=x+y,所以x=QUOTE,y=-QUOTE.

答案:QUOTE-QUOTE

考点三共线向量定理及其应用?

命

题

精

解

读

1.考什么:(1)推断向量共线,三点共线问题,含参数综合问题;(2)考查数学运算核心素养,以及数形结合的思想.

2.怎么考:与解析几何,三角函数图像与性质,三角恒等变换结合考查求参数,最值等.

3.新趋势:以考查共线向量定理的应用为主.

学

霸

好

方

法

1.证明向量共线的方法