2025届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布第七节n次独立重复试验与二项分布学案含.docVIP

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第七节n次独立重复试验与二项分布

热点命题分析

学科核心素养

本节是高考的热点，主要命题点有：(1)相互独立事务的概率、条件概率，常以选择题、填空题的形式出现；(2)二项分布的概念、特征和相关计算，常以解答题的形式出现.

本节通过实际问题中二项分布的应用考查考生的数据分析、数学运算、数学建模核心素养.

授课提示：对应学生用书第206页

学问点一条件概率

条件概率的定义

条件概率的性质

已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．

当P(B)0时，我们有P(A|B)＝eq\f(P?A∩B?,P?B?).(其中，A∩B也可以记成AB)

类似地，当P(A)0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)

(1)0≤P(B|A)≤1，

(2)假如B和C是两个互斥事务，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)

?温馨提示?

P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同

前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．

1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()

A．0.8 B．0.75

C．0.6 D．0.45

答案：A

2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形态完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，其次次拿到红球的概率为________．

答案：eq\f(1,3)

学问点二相互独立事务

事务的相互独立性

(1)定义：设A，B为两个事务，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事务A与事务B相互独立．

(2)性质：

①若事务A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．

②假如事务A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也相互独立．

?温馨提示?

互斥事务强调两事务不行能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事务则强调一个事务的发生与否对另一个事务发生的概率没有影响．

1．(2024·金华一中模拟)春节放假，甲回老家过节的概率为eq\f(1,3)，乙、丙回老家过节的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,5)，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为()

A.eq\f(59,60) B．eq\f(3,5)

C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,60)

答案：B

2．天气预报监测到在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．

答案：0.38

学问点三独立重复试验与二项分布

独立重复试验

二项分布

定义

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验

在n次独立重复试验中，用X表示事务A发生的次数，设每次试验中事务A发生的概率为p，此时称随机变量X听从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为胜利概率

计算

公式

Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(

在n次独立重复试验中，事务A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)

1．有3位同学参与某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是eq\f(1,2)，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有二位同学能通过测试的概率为()

A.eq\f(1,8) B．eq\f(3,8)

C.eq\f(1,2) D．eq\f(7,8)

答案：C

2．设随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则P(X＝3)＝________.

答案：eq\f(5,16)

授课提示：对应学生用书第207页

题型一条件概率自主探究

1．(2024·桂林调研)某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次摸出2个球运用，在第一次摸出新球的条件下，其次次也取到新球的概率为()

A.eq\f(3,5) B．eq\f(5,9)

C.eq\f(1,10) D．eq\f(2,5)

答案：B

2．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪耀，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为eq\f(1,2)，两次闭合后都出现红灯的概率为eq\f(1,5)，则在第一次闭合后出现红灯的条