2025届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布9.7n次独立重复试验与二项分布学案理.docVIP

PAGE

第七节n次独立重复试验与二项分布

命题分析预料

学科核心素养

本节是高考的热点，主要命题点有：（1）相互独立事务的概率、条件概率，常以选择题、填空题的形式出现；（2）二项分布的概念、特征和相关计算，常以解答题的形式出现．

本节通过实际问题中二项分布的应用考查考生的数据分析、数学运算、数学建模核心素养．

授课提示：对应学生用书第224页

学问点一条件概率

条件概率的定义

条件概率的性质

已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P（A|B）．

当P（B）0时，我们有P（A|B）＝eq\f(P（AB）,P（B）)．（其中，AB也可以记成A∩B）

类似地，当P（A）0时，A发生时B发生的条件概率为P（B|A）＝eq\f(P（AB）,P（A）)

（1）0≤P（B|A）≤1；

（2）假如B和C是两个互斥事务，则P（B＋C|A）＝P（B|A）＋P（C|A）

?温馨提示?

P（B|A）与P（A|B）易混淆为等同

前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．

1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0．75，连续两天为优良的概率是0．6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）

A．0．8 B．0．75

C．0．6 D．0．45

解析：在某天的空气质量为优良的条件下，随后一天的空气质量为优良的概率P＝eq\f(0.6,0.75)＝0．8．

答案：A

2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形态完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，其次次拿到红球的概率为_________．

解析：设A＝{第一次拿到白球}，B＝{其次次拿到红球}，

则P（AB）＝eq\f(Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(1,10))×eq\f(Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(1,9))，P（A）＝eq\f(Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(1,10))，

所以P（B|A）＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,3)．

答案：eq\f(1,3)

学问点二相互独立事务

事务的相互独立性

（1）定义：设A，B为两个事务，若P（AB）＝P（A）P（B），则称事务A与事务B相互独立．

（2）性质：

①若事务A与B相互独立，则P（B|A）＝P（B），P（A|B）＝P（A），P（AB）＝P（A）P（B）．

②假如事务A与B相互独立，那么A与eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))与B，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也相互独立．

?温馨提示?

互斥事务强调两事务不行能同时发生，即P（AB）＝0，相互独立事务则强调一个事务的发生与否对另一个事务发生的概率没有影响．

1．（2024·金华一中模拟）春节放假，甲回老家过节的概率为eq\f(1,3)，乙、丙回老家过节的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,5)，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）

A．eq\f(59,60) B．eq\f(3,5)

C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,60)

解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事务A，B，C，则P（A）＝eq\f(1,3)，P（B）＝eq\f(1,4)，P（C）＝eq\f(1,5)，所以P（eq\o(A,\s\up6(－))）＝eq\f(2,3)，P（eq\o(B,\s\up6(－))）＝eq\f(3,4)，P（eq\o(C,\s\up6(－))）＝eq\f(4,5)．由题知A，B，C为相互独立事务，所以三人都不回老家过节的概率P（eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))）＝P（eq\o(A,\s\up6(－))）P（eq\o(B,\s\up6(－))）P（eq\o(C,\s\up6(－))）＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5)，所以至少有一人回老家过节的概率P＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)．

答案：B

2．天气预报监测到在元旦假期甲地降雨概率是0．2，乙地降雨概率是0．3．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为_________．

解析：设甲地降雨为事务A，乙地降雨为事务B，则两地恰有一地降雨为Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s