五章定积分及应用二节性质.pdfVIP

5.2定积分的性质

说明:在下面的性质中,假设所涉及的函数都是

可积分的.

bbb

性质5.1[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx.

aaa

bb

性质5.2akf(x)dxkaf(x)dx,(k为常数).

性质5.1和性质5.2称为定积分的线性性质

性质5.3(积分区间的可加性)设acb,则

bcb

f(x)dxf(x)dx+f(x)dx

aac

补充:无论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.

例若abc,

cbc

f(x)dxf(x)dx+f(x)dx

aab

bcc

则af(x)dxaf(x)dx−bf(x)dx

cb

af(x)dx+cf(x)dx

bb

性质5.4a1dxadxb−a.

性质5.5如果在区间[a,b]上f(x)0,

b

则af(x)dx0.(ab)

推论5.1(定积分的保序性)

如果在区间[a,b]上f(x)g(x),

bb

则f(x)dxg(x)dx.(ab)

aa

bb

推论5.2af(x)dxaf(x)dx.(ab)

证−ff((xx)f(x)f(x)

bbb

−f(x)dxf(x)dxf(x)dx

aaa

bb

即a