2024_2025学年高中数学课时练习8生活中的优化问题举例含解析新人教A版选修2_2.docVIP

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生活中的优化问题举例

基础全面练(15分钟30分)

1．(2024·开封高二检测)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x0)，则获得最大利润时的年产量为()

A．1百万件B．2百万件

C．3百万件D．4百万件

【解析】选C.依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，

当0x3时，y′0；当x3时，y′0.

因此，当x＝3时，该商品的年利润最大．

2．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()

A．eq\f(3,2)eq\r(3)cm2B．4cm2

C．3eq\r(2)cm2D．2eq\r(3)cm2

【解析】选D.设两段长分别为xcm，(12－x)cm，这两个正三角形的边长分别为eq\f(x,3)cm，eq\f(12－x,3)cm，面积之和为

S(x)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(x,3)))2))＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)x2－\f(8x,3)＋16)).

令S′(x)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)x－\f(8,3)))＝0，解得x＝6.则x＝6是S(x)的微小值点，也是最小值点，所以S(x)min＝S(6)＝2eq\r(3)cm2.

3．容积为108升的底面为正方形的长方体无盖水箱，要运用料最省，它的高为()

A．2分米B．3分米C．4分米D．6分米

【解析】选B.设水箱的底面边长为a分米，高为h分米，

则V＝a2h＝108，即h＝eq\f(108,a2).

用料最省，即表面积最小．

S表＝S底＋S侧＝a2＋4ah＝a2＋4a×eq\f(108,a2)＝a2＋eq\f(432,a).

S表′＝2a－eq\f(432,a2)，

令S表′＝2a－eq\f(432,a2)＝0，

解得a＝6，此时h＝3分米．

4．体积为16π的圆柱，当它的半径为________时，圆柱的表面积最小．

【解析】设圆柱底面半径为r，母线长为l.

所以16π＝πr2l，即l＝eq\f(16,r2).

则圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr×eq\f(16,r2)＝2πr2＋eq\f(32π,r)，由S′＝4πr－eq\f(32π,r2)＝0，得r＝2.当0r2时，S′0，S单调递减；当r2时，S′0，S单调递增．所以当r＝2时，圆柱的表面积最小．

答案：2

5．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则高为多少？

【解析】设圆锥的高为xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0x20))，

则圆锥底面半径r＝eq\r(400－x2)，

所以圆锥体积：V＝eq\f(1,3)πr2·x＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(400－x2))x

＝－eq\f(π,3)x3＋eq\f(400π,3)x，

所以V′＝－πx2＋eq\f(400π,3)，令V′＝0，解得：x＝eq\f(20\r(3),3)，

当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(20\r(3),3)))时，V′0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20\r(3),3)，20))时，

V′0，所以当x＝eq\f(20\r(3),3)时，V取得最大值，即体积最大时，圆锥的高为eq\f(20\r(3),3).综合突破练(25分钟50分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－286，则该生产厂家获得的最大年利润为()

A．300万元B．252万元

C．200万元D．128万元

【解析】选C.由题意，函数y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－286，

所以y′＝－x2＋81，

当0x9时，y′0，函数f(x)为单调递增函数；