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数系的扩充与复数的概念教案

??一、教学目标

1.知识与技能目标

了解数系的扩充过程，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

掌握复数的代数表示形式，能正确地对复数进行分类，判断复数是实数、虚数还是纯虚数。

2.过程与方法目标

通过回顾数系扩充的历史，体会数学发展的一般规律，感受人类理性思维在数学发展中的作用。

经历从实数系扩充到复数系的过程，培养学生类比、推理、抽象概括的能力，提高学生的数学思维水平。

3.情感态度与价值观目标

使学生了解数学文化，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生勇于探索的精神。

让学生体会数学体系的严谨性和科学性，培养学生的数学审美意识。

二、教学重难点

1.教学重点

复数的概念，复数的代数表示形式，复数相等的充要条件。

复数的分类，区分实数、虚数和纯虚数。

2.教学难点

理解虚数单位\(i\)的引进的必要性及性质。

复数概念的形成，理解复数相等的充要条件并能应用其解决相关问题。

三、教学方法

1.讲授法：讲解数系扩充的历史、复数的基本概念、复数的代数表示形式、复数相等的充要条件以及复数的分类等内容，使学生系统地掌握知识。

2.讨论法：组织学生讨论数系扩充的原因、虚数单位\(i\)的性质等问题，激发学生的思维，培养学生的合作交流能力和自主探究能力。

3.类比法：通过类比实数的相关概念和性质，引导学生学习复数的概念和性质，让学生体会知识之间的内在联系，降低学习难度。

四、教学过程

（一）导入新课

1.引导学生回顾数的发展历程

提问：同学们，我们从小学开始就学习数，大家能说一说我们都学过哪些数吗？

学生回答：自然数、整数、分数、有理数、无理数等。

教师总结：随着生产生活的需要，数的概念不断扩充。最初人们为了计数，产生了自然数\(1,2,3,\cdots\)；为了表示相反意义的量，引入了负数，从而形成了整数；为了测量和分配，又产生了分数；后来发现了不能表示为分数的数，即无理数，有理数和无理数统称为实数。

2.提出问题，引发思考

教师：在实数范围内，方程\(x^2+1=0\)有解吗？

学生思考后回答：在实数范围内无解，因为任何实数的平方都大于等于\(0\)。

教师：那我们能否对实数系进行扩充，使得方程\(x^2+1=0\)有解呢？这就是我们今天要研究的内容数系的扩充与复数的概念。

（二）讲授新课

1.数系的扩充

介绍数系扩充的历史背景

教师：为了解决方程\(x^2+1=0\)这样的问题，数学家们引入了一个新的数\(i\)，规定\(i^2=1\)。

讲述意大利数学家卡尔达诺在16世纪就开始考虑负数的平方根，但当时并没有被广泛接受。直到18世纪，随着数学理论的不断完善，虚数才逐渐被人们所认可。

通过介绍历史背景，让学生了解数学概念的产生和发展是与实际需求以及数学理论的发展紧密相关的。

虚数单位\(i\)的性质

教师：虚数单位\(i\)具有以下性质：

\(i^2=1\)。

\(i\)可以与实数进行四则运算，在进行运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。

举例说明\(i\)的运算：

\(i^3=i^2\cdoti=1\cdoti=i\)。

\(i^4=(i^2)^2=(1)^2=1\)。

\(i^5=i^4\cdoti=1\cdoti=i\)，可以发现\(i\)的幂次具有周期性，周期为\(4\)。

2.复数的概念

复数的定义

教师：把形如\(a+bi\)（\(a,b\inR\)）的数叫做复数，其中\(a\)叫做复数的实部，\(b\)叫做复数的虚部。全体复数所组成的集合叫做复数集，记作\(C\)。

强调\(a,b\)均为实数这一条件，并举例说明：

当\(a=3\)，\(b=2\)时，\(3+2i\)是一个复数，实部\(a=3\)，虚部\(b=2\)。

当\(a=1\)，\(b=0\)时，\(1+0i=1\)，它是一个实数，此时虚部为\(0\)。

当\(a=0\)，\(b=1\)时，\(0+1i=i\)，它是一个虚数，此时实部为\(0\)。

复数的代数表示形式

教师：复数通常用字母\(z\)表示，即\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），这就是复数的代数表示形式。

让学生分别说出几个复数的实部和虚部，并将其写成代数表示形式。

3.复数相等的充要条件

教师：如果两个复数\(z_1=a_1+bi\)，\(z_2=a_2+bi\)（\(a_1,a_2,b_1,b_2\inR\)），那么\(z_1=z_2\)的充要条件是\(a_1=a_2\)且\(b_1=b_2\)。

举例说明：

已