2025届高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及线性运算学案理新.docVIP

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平面对量、数系的扩充与复数的引入

第一节平面对量的概念及线性运算

1．向量的有关概念

(1)向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量，常用a或eq\o(AB,\s\up6(→))表示．

(2)向量的模：向量的大小，即表示向量的有向线段的长度叫做向量的模，记作|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.

(3)几个特别向量：

特点名称

长度(模)

方向

零向量

0

随意

单位向量

_1_

随意

相等向量

相等

相同

相反向量

相等

相反

平行向量

相同或相反

2.向量的加法、减法与数乘

定义

法则(或几何意义)

运算律

加

法

求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则

(1)交换律：

a＋b＝b＋a；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减

法

求两个向量差的运算

三角形法则

a－b＝a＋(－b)

续表

定义

法则(或几何意义)

运算律

数

乘

实数λ与向量a的积的运算

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ0时，λa与a的方向相同；

当λ0时，λa与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0

(1)λ(μa)＝(λμ)a；

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．

4．平面对量基本定理

(1)定理：假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的随意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．

(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底．

5．平面对量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是(x，0)，a在y轴上的坐标是(0，y).

6．平面对量的坐标运算

向量的加法、减法

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)

向量的数乘

设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)

向量坐标的求法

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)

7.向量共线的坐标表示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.

1．与向量a共线的单位向量为±eq\f(a,|a|).

2．两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适用三角形法则．

3．A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外任一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))且λ＋μ＝1.

4．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线．

5．P为线段AB的中点?eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).

6．G为△ABC的重心?eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0?eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))(O是平面内随意一点).

7．P为△ABC的外心?|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|.

8．||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

9．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

1．(基本方法：向量共线与三点共线)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－m，－5n)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2m，8n)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3m，－3n)，则()

A．A，B，D三点共线

B．A，B，C三点共线

C．B，C，D三点共线

D．A，C，D三点不共线

答案：A

2．(基本方法：向量减法的坐标运算)已知向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝()

A．eq\r(2) B．2

C．5eq\r(2) D．50

答案：A

3．(基