数量积向量积混合积.pptVIP

高等数学电子教案武汉科技学院数理系高等数学电子教案武汉科技学院数理系第二节数量积向量积混合积一两向量的数量积1,常力的功FM2M1Sθθab在物理中我们知道,一物体受常力作用下沿直线从M1移动到M2,S是它位移.则力F所做的功为功是个数量,它等于两个向量的模相乘再乘以它们的夹角即称为向量2,数量积的定义根据这个定义,上面讲的功W是力F和位移S的数量积,w=F·S的余弦.定义1:对任意两个向量a,b,数a,b的数量积,记作a·b3,数量积的主要性质零向量.即向量a和b相互垂直.因为a·b=|a||b|cos(a,b).|a|≠0,|b|≠0,使a·b=0只能cos(a,b)=0.所以a·b=|a|prjab同理:a·b=|b|prjba.所以上式成立.|b|cos(a,b)是b在a上的投影,即|b|cos(a,b)=prjab.(2)a·b=0是向量a和b垂直的充分必要条件,这里a,b为非01因为a·b=|a||b|cos(a,b)=|b||a|cos(b,a)=b·a(1)a·b=|a|Prjab=|b|Prjba025,数量积的坐标表示式,设根据数量积的运算律,有(3)与实数相乘的结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)证明:(a+b)·C=|C|Prjc(a+b)=|C|Prjca+|C|Prjcb=a·c+b·c(2)分配律(a+b)·C=a·C+b·C证明:由投影定理a·b=|a|Prjab=|a||b|cos(b,a)=|b|Prjba=b·a(1)交换律a·b=b·a4,数量积的运算律当a,b为非零向量时,有公式在就是两个向量数量积的坐标表示式.由此可见,两个向量垂直的充要条件是例1求向量a={5,2,5}在向量b={2,-1,2}上的投影.M1M2M3θ解:因为a·b=|b|Prjba,所以解:例2已知三点M1(2,2,2)M2(4,4,2)M3(4,2,4).求向量M1M2,M1M3的夹角.例3试利用向量的数量积证明三角形abC由图可见c=a--b,c2=(a-b)2=a2-2a·b+b2用向量的数量积证明余弦定理比中学里简单.二,两向量的向量积opLFθM=a2+b2-2|a||b|cosθ即c2=a2+b2-2|a||b|cosθ的余弦定理.1.引例转动力矩(向量)M=力臂×力F.方向由转动法则.|M|=|F||op|sinθa×b垂直于a和b,其指向使三个向量a,b和a×b符合右手|a×b|=|a||b|sin(a,b).定义2两个向量a和b的向量积是一个向量,记作a×b,并规定:2.向量积的定义01大拇指的指向.M的方向垂直于op与力F决定的平面,其指向按右手规则.方向决定.在力学中,规定力F对支点o的力矩M为即当右手的四指从op以不超过π的角转向F时握拳时,02a×babbaθ|b|sinθ模|a×b|的几何意义为以a,b为相邻两边的平行四边形的面积.3.向量积的主要性质由向量积的定义可以得到如下的性质:根据这个定义,上面的力矩M是op与F的向量积,即M=op×F反之,如果a∥b则(a,b)=0或为π,即a×b=0.(1)a×a=0因为|a×a|=|a||a|sin0=0.(2)对于两个非零向量a,b.a和b平行的充分必要条件是a×b=0.因为a×b=0,且|a|≠0,|b|≠0,必定有sin(a,b)=0,即(a,b)=0,或为π,a∥b时要特别注意.4.向量积的运算规则(1)b×a=-(a×b).这是因为按右手法则,从b转向a和从a转向b定出的方向相反.它表明交换律对向量积不成立.我们在运算(2)分配律(a+b)×c=a×c+b×c.0102向量积还符合如下的结合律:设λ是个数,则(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)设a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk.根据向量积的运算规则,有5.向量积的坐标表示式由向量积的主要性质及运算规则(1),可知:为了便于记忆,把上式写成行列式形式或者如果两个向量a和b互相平行,相当于sin(a,b)=0,或a×b=0,有也可以把它写成展开的形式在bx,by,bz都不等于零时,等式(2)和等式(1)具有相同的意义;解:二个为零时,可把(2)看为(1)的简便写法.例如我