解析几何--高考数学考前三个月速记清单.docx

专题九?解析几何——高考数学考前三个月速记清单

（一）直线与圆

1.直线的有关问题

(1)直线的斜率公式

①已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为．

②已知直线过点，则直线的斜率为.

(2)三种距离公式

①两点间的距离：若，

则．

②点到直线的距离：点到直线的距离．

③两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为则两平行线的距离.

(3)直线与圆相交时弦长公式

设圆的半径为R，圆心到弦的距离为d，则弦长．

(4)直线方程的五种形式

①点斜式：．

②斜截式：．

③两点式：．

④截距式：．

⑤一般式：(A，B不同时为0)．

(5)直线的两种位置关系

①当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：

(ⅰ)两直线平行：．

(ⅱ)两直线垂直：．

②当两直线方程分别为时：

(ⅰ)l1与l2平行或重合．

(ⅱ)．

2.圆的三种方程

①圆的标准方程：．

②圆的一般方程：．

③圆的直径式方程：(圆的直径的两端点是)．

3.直线与圆的位置关系

（1）判断直线与圆的位置关系的方法

①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：相交，相离，相切．

②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr?相交，dr?相离，d＝r?相切．(主要掌握几何方法)．

（2）两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系

设圆O1半径为r1，圆O2半径为r2.

圆心距与两圆半径的关系

两圆的位置关系

内含

内切

相交

外切

外离

易错易混

已知两点坐标求斜率，若点的坐标中有参数，容易忽略直线斜率不存在的情况

设直线方程解题时忽略斜率不存在的情况

平行线间的距离公式使用不当致误

忽视直线点斜式和斜截式方程的适用范围

忽视直线截距式方程适用范围

忽视圆的一般式方程适用条件

求轨迹方程时易忽略隐含条件而致误

求过定点的圆的切线方程不先判断定点是在圆上还是在圆外致误

（二）圆锥曲线的概念与性质，与弦有关的计算问题

1．圆锥曲线的定义

(1)椭圆：．

(2)双曲线：．

(3)抛物线：，点F不在直线l上，于M(l为抛物线的准线)．

2．圆锥曲线的重要性质

(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系

①在椭圆中：；离心率为．

②在双曲线中；离心率为．

(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标

①双曲线的渐近线方程为；焦点坐标．

②双曲线的渐近线方程为，焦点坐标．

(3)抛物线的焦点坐标与准线方程

①抛物线的焦点坐标为，准线方程为．

②抛物线的焦点坐标为，准线方程为．

3.弦长问题

(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长

斜率为k的直线与圆锥曲线交于点时，

(2)抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB是过抛物线焦点F的弦，若，

则，；

②弦长(为弦AB的倾斜角)；③；④以弦AB为直径的圆与准线相切．

（三）直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题

1．有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法

(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

(2)面积问题常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．

(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．

2．弦中点问题的解决方法

(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤

(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．

3．与相交有关的向量问题的解决方法

在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．

4.圆锥曲线中最值问题：主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等．

5.圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系．该问题主要有以下三种情况：

(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解．

(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，