2025届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数学案理含解析北师大版.docVIP

PAGE

第五节指数与指数函数

命题分析预料

学科核心素养

本节在高考中的考查热点有：（1）比较指数式的大小；（2）指数函数的图像与性质的应用；（3）以指数函数为载体，与其他函数、方程、不等式等学问的综合应用.以选择题和填空题为主，难度中等.

本节通过指数运算、指数函数的图像及性质考查数形结合思想、分类探讨思想的运用和考生的逻辑推理、数学运算核心素养.

授课提示：对应学生用书第26页

学问点一根式与指数幂的运算

1.根式的概念

根式的概念

符号表示

备注

假如xn＝a，那么x叫做a的n次方根

n1且n∈N＋

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数

eq\r(n,a)

零的n次

方根是零

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数

±eq\r(n,a)

（a0）

负数没有

偶次方根

2.两个重要公式

（1）eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a0）))n为偶数；))

（2）（eq\r(n,a)）n＝a（留意a必需使eq\r(n,a)有意义）.

3.有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正分数指数幂：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)（a＞0，m，n∈N＋，且n＞1）；

②负分数指数幂：a＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))（a＞0，m，n∈N＋，且n＞1）；

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

（2）有理数指数幂的性质

①aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈Q）；

②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；

③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）.

?温馨提示?

在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数.易忽视字母的符号.

1.（易错题）化简4aeq\s\up6(\f(2,3))·b÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)ab\s\up6(\f(2,3))))的结果为（）

A.－eq\f(2a,3b) B.－eq\f(8a,b)

C.－eq\f(6a,b) D.－6ab

解析：原式＝4÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))ab＝－6ab－1＝－eq\f(6a,b).

答案：C

2.化简eq\r(4,16x8y4)（x＜0，y＜0）＝__________.

解析：因为x＜0，y＜0，所以eq\r(4,16x8y4)＝（16x8·y4）eq\s\up6(\f(1,4))＝（16）eq\s\up6(\f(1,4))·（x8）eq\s\up6(\f(1,4))·（y4）eq\s\up6(\f(1,4))＝2x2|y|＝－2x2y.

答案：－2x2y

学问点二指数函数的图像与性质

0a1

a1

图像

性质

定义域：R

值域：（0，＋∞）

当x＝0时，y＝1，即过定点（0，1）

当x0时，0y1；

当x0时，y1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

在R上是减函数

在R上是增函数

?温馨提示?

指数函数y＝ax（a0，a≠1）的图像和性质与a的取值有关，要特殊留意区分a1或0a1.

1.某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，安排使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x改变的函数解析式为（）

A.y＝a（1＋p%）x（0＜x＜m）

B.y＝a（1＋p%）x（0≤x≤m，x∈N）

C.y＝a（1＋xp%）（0＜x＜m）

D.y＝a（1＋xp%）（0≤x≤m，x∈N）

解析：由题意可知，y＝a（1＋p%）x，其中0≤x≤m，x∈N.

答案：B

2.函数f（x）＝ax－eq\f(1,a)（a＞0，a≠1）的图像可能是（）

解析：当a＞1时，将y＝ax的图像向下平移eq\f(1,a)个单位长度得f（x）＝ax－eq\f(1,a)的图像，A，B都不符合；当0＜a＜1时，将y＝ax的图像向下平移eq\f(1,a)个单位长度得f（x）＝ax－eq\f(1,a)的图像，而eq\f(1,a)大于1.

答案：D

3.（易错题）若函数f（x）＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝__________.

解析：当a＞1时，a＝2；当0＜a＜1时a－1＝2，即a＝eq\f(1,2).

答案：2或eq\f(1,2)

授课提示：对应学生用书第27页

题型一指数函数的图像及应用

1.函数f（x）＝1－e|x|的图像大致是（）

解析：