（暑期班）高一数学(人教A版必修一)暑假讲义第10讲 函数的单调性和最值（解析版）.docVIP

第10讲函数的单调性和最值

【人教A版2019】

·模块一函数的单调性

·模块二函数的最值

·模块三课后作业

模块一

模块一

函数的单调性

1．函数的单调性

(1)单调递增、单调递减：

(2)函数的单调性及单调区间：

①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.

②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单

调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.

(3)常见函数的单调性：

函数

单调性

一次函数y=ax+b

(a≠0)

a0时，在R上单调递增；

a0时，在R上单调递减.

反比例函数

a0时，单调递减区间是(,0)和(0,)；

a0时，单调递增区间是(,0)和(0,).

二次函数y=a(x-m)2+n

(a≠0)

a0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)；

a0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m].

(4)单调函数的运算性质：

若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.

②若a为常数，则当a0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a0时，f(x)与af(x)具有相反的

单调性.

③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a0时，f(x)与具有相反的单调性；当a0时，

f(x)与具有相同的单调性.

④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性.

⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：

f(x)

g(x)

f(x)+g(x)

f(x)-g(x)

增

增

增

不能确定单调性

增

减

不能确定单调性

增

减

减

减

不能确定单调性

减

增

不能确定单调性

减

⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)g(x)在区间D上单调递减(增).

(5)复合函数的单调性判定：

对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.

t=g(x)

y=f(t)

y=f(g(x))

增

增

增

增

减

减

减

增

减

减

减

增

【考点1函数单调性的判断及单调区间的求解】

【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）已知y=fx的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（????

A．[?1,3] B．[?1,2]和[4,5]

C．[?1,2] D．?3,?1和2,4

【解题思路】根据函数图象直接确定递增区间即可.

【解答过程】由图象知：该函数的单调增区间为[?1,2]和[4,5].

故选：B.

【例1.2】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数f(x)=x2?4|x|+3

A．(?∞,?2) B．(?

C．(?2,2) D．(?2,0)和(2,+

【解题思路】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求

【解答过程】fx

则由二次函数的性质知，当?x≥0时，y=x2

当x0，y=x2+4x+3=

故fx的单调递减区间是(?∞,?2)

故选：B.

【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）已知函数fx是R上的增函数，函数gx是R上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（

A．fx+gx B．fx

【解题思路】根据函数单调性的性质逐一判断即可.

【解答过程】解：因为函数fx是R上的增函数，函数gx是

所以函数fx?gx

函数gx?fx

函数fx+gx

故选：B.

【变式1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（????）

A．函数y=x2在R上是增函数 B．函数y=1

C．函数y=x2和函数y=x的单调性相同 D．函数y=

【解题思路】分别判断出y=x2，y=1x，

【解答过程】对于A：y=x2定义域为R，由二次函数y=x2的图像可知，y=x

对于B：y=1x的定义域为(?∞,0)∪(0,+∞)，由反比例函数y=1

对于C：y=x2在(0,+∞

y=x，当x≥0时，y=x，易知为增函数，当x0时，y=?x，易知为减函数，所以函数y=x2

对于D：y=1x定义域为(?∞,0)∪(0,+∞)，由反比例函数y=1

设y=f(x)=x+1x定义域为(?∞

则f(x

当0x1x21时，

当1x1x2，f(

同理可证，f(x)在(?1,0)上单调递减，在(?∞

故选：C．

【考点2利用函数的单调性求参数】

【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）设函数f(x)=(a?1)x+1是R上的减函数，则有（????）

A．a≥1 B．a≤1 C．a1 D．a1

【解题思路】根据函数的单调性列出相应的不等