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§5.6微分学的几何应用

5.6.1空间曲线的切线与

定义1：设M是空间

L上的一点，M是L上

另一点。当点M沿曲线

趋近于点M时，割线

的极限位置MT，称为

L在点M处的切线。过点M且与切线MT垂直

平面，称为曲线L在点M处的法平面。

xx(t)





yy(t)x(t)y(t)z(t)

设空间曲线为L：，且、、可微。

zz(t)



tttt+t

当及时，L上对应的两点为



M(x,y,z)，及M(x+x,y+y,z+z)，



x−xy−yz−z

则割线MM的方程为



tx−xy−yz−z

上式分母除以，得，

xyz

ttt

当点M→M时，有t→0，对上式取极限，得

x−xy−yz−z

①

x(t)

y(t)z(t)

切线的方向向量ax(t),y(t),z(t)。



故曲线L在点M处的法平面方程为



x(t)(x−x)+y(t)(y−y)+z(t)(z−z)0.②



x2cost





例1．求螺旋线y2sint上对应于t的点M处的切线

4