矩阵论矩阵的分解.ppt

第1页，共15页，星期日，2025年，2月5日矩阵分解的概述矩阵的分解：A=A1+A2+…+Ak矩阵的和A=A1A2…Am矩阵的乘积矩阵分解的原则与意义：实际应用的需要理论上的需要计算上的需要显示原矩阵的某些特性矩阵化简的方法与矩阵技术主要技巧：各种标准形的理论和计算方法矩阵的分块第2页，共15页，星期日，2025年，2月5日§3.1常见的矩阵标准形与分解常见的标准形等价标准形相似标准形合同标准形本节分解：三角分解满秩分解可对角化矩阵的谱分解AT=A相似标准形等价标准形第3页，共15页，星期日，2025年，2月5日一、矩阵的三角分解（triangulardecomposition)方阵的LU和LDV分解（P.61）LU分解：A?Fn?n，有下三角形矩阵L，上三角形矩阵U，使得A=LU。LDV分解：A?Fn?n，L、V分别是主对角线元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为对角矩阵，使得A=LDV。已知的方法：Gauss-消元法例题1（P.61eg1）设求A的LU和LDV分解。结论：如果矩阵A能用两行互换以外的初等行变换化为阶梯形，则A有LU分解。第4页，共15页，星期日，2025年，2月5日三角分解的存在性和惟一性定理3.1（P.62）：矩阵的k阶主子式：取矩阵的前k行、前k列得到的行列式，k=1，2，…，n。定理:A?Fn?n有惟一LDV分解的充要条件是A的顺序主子式Ak非零，k=1，2，…，n-1。讨论（1）LDV分解的存在?LU分解存在（2）矩阵可逆与顺序主子式非零的关系定理3.2（P.64）设矩阵A?Fn?n，rank（A）=k（?n），如果A的k阶顺序主子式大于0，则A有LU分解。讨论：LDV分解与LU分解的关系例题2（P.65eg2）LU分解的应用举例：求解线性方程组AX=b第5页，共15页，星期日，2025年，2月5日二、矩阵的满秩分解定义3.2（P.66）对秩为r的矩阵A?Fm?n，如果存在秩为r的矩阵B?Fm?r，C?Fr?n，则A=BC为A的满秩分解。例题2（P.69，eg5）列满秩行满秩定理3.2：任何非零矩阵A?Fm?n都有满秩分解。满秩分解的求法：方法1：方法2例题1（P.68，eg4）方法3例题3（P.70，eg6）?方法建立的思想?方法实现的途径第6页，共15页，星期日，2025年，2月5日三、可对角化矩阵的谱分解将方阵分解成用谱加权的矩阵和谱：设A?Fn?n，则A的谱={?1，?2，?，?s}。，P具性质：1.可对角矩阵的谱分解分解分析：分解结果：幂等矩阵意义：可对角化矩阵可以分解成以谱加权的幂等矩阵的加权和第7页，共15页，星期日，2025年，2月5日2、矩阵可以对角化的一个充要条件定理3.5（P.73）矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解，满足条件：充分性的证明：在A有谱分解时Cn=V?1?V?2???V?n第8页，共15页，星期日，2025年，2月5日3.幂等矩阵的性质定理3.4（P.72）P?Fn?n，P2=P，则矩阵PH和矩阵（I–P）仍然是幂等矩阵。P的谱?{0，1}，P可相似于对角形。Fn=N（P）?R（P）N（P）=V?=0，R（P）=V?=1P和（I–P）的关系N（I–P）=R（P），R（I–P）=N（P）Hermite矩阵的谱分解定理3.6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite矩阵，则A可以分解为下列半正定矩阵的和。A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH第9页，共15页，星期日，2025年，2月5日§3.2Schur分解和正规矩阵已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交相似于对角形。讨论：一般方阵A，在什么条件下可以酉相似于对角矩阵？在内积空间中讨论问题，涉及：空间Cn、Cn?n，酉矩阵U，UHU=I，U–1=UH酉相似：UHAU=J?U–1AU=J相似关系重点：理论结果列向量是空间Cn中的标准正交基第10页，共15页，星期日，2025年，2月5日