高中数学规则型问题的解答策略.pdfVIP

正［文］

定义：规则型问题，是指在题设中只提供了变量所遵循的抽象的规则而没

提供具体解析式的问题，如抽象函数问题，抽象不等式问题，抽象数列问题，以

及新信息题等都属于这类问题，其出题形式则大、小题都可能。由于这类问题能

够较好地考查学生的各种数学能力和学习潜力，因此在近年的高考卷中以及高考

模拟卷中频频出现，成为考生的一只拦路虎。

规则型问题具抽象性、概括性以及情境陌生性的特点，因此学生对此类问

题难免产生“空对空”的无处下手的感觉。不过，一物降一物，如果对规则型问

题的共同特点进行深入研究，找到它的命门”，就会发现这类问题并不可怕。

下面分类举例说明。

一、抽象函数型问题

抽象函数问题，不给出解析式，只给出函数的解析式/(X)所满足的一些条件,

要求解题者解决问题。在这里，解析式是抽象的，而解析式/所满足的一些

条件这个规则是具体的，解题者的做法就是充分地利用这个规则，通过对解析式

进行繁衍、变形、赋值等技术手段得到答案。

【例题1］(2008,四川非延考区，9)函数/(x)满足/(x/(x+2)=13,若

/⑴=2,则/(99)=()

132

A.13B.2C.一D.

2

【解析1由规则/(x)•/(x+2)=13,/(x+2)•/(X+4)=13,f(x)=/(x+4),

，/(x)的周期T=4。Z./(99)=/(4x24+3)=/(3),再由规则

1313

〃x)(x+2)=13赋值，令x=l得/(1)(1+2)=13,.•.3)=5,即/(99)=彳.

选C。

【例题2】(2008陕西，11)定义在R上的函数/(%)满足

/(x+y)=,f(x)+/(y)+2冲⑴=2,则/(—2)等于()

A.2B.3C.6D.9

【解析】：这里主要的规则是/(x+y)=/(x)+/(y)+2q,赋值，令x=y=0得/(0)=0,

又赋值，4x=-l,j=K#/(l-l)=/(l)+/(-l)+2x1x(-1),/(-1)=0；再赋

值，令x=y=—1,得/(一2)=2,选A。

【例题3】(2001全国高考)设/(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=l

对称。对任意冷X260,1,都/(芯+%2)=/(西)・/缶)，且/⑴=2。

8求佃，咽，

⑵证明/(尤)是周期函数。

【解析】：⑴•.,对任意石,光2e0,；,都/(玉+々)=/(%)・/(%2)，

・•.对于任意问0,1］都有於)=呜+升/部［升佃0o

故令x=l得/(1)

又令V得吗卜［，削S外痣。

⑵证明：•..函数/(X)的图象关于直线尤=1对称，•♦./(l+x)=/(l—x),以X—1代

替X,得〃力=〃2-切；再以T代替X,得/(T)=〃X