高中数学讲义微专题42 利用函数性质与图像比较大小.pdfVIP

微专题42利用函数性质与图像比较大小

一、基础知识:

(-)利用函数单调性比较大小

1、函数单调性的用：/(x)在可单调递增，则

Vxxe[a,b],x=/(x,)/(当卜在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数

1?2Xl2

值大小关系的桥梁)

2、导数运算法则：

⑴(/(x)g(x))=/(x)g(x)+/(x)g(x)

⑵J(x))J(x)g(2--(x)g(x)

3、常见描述单调性的形式

(1)导数形式：/(x)On/(x)单调递增；/(x)On/(x)单调递减

(2)定义形式：*)/(占)〉0或表示函数值的差与

对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减

4、技巧与方法：

(1)此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合

着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可

以确定入手点

(2)在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关

系的函数。在构造时多进行试验与项的调整

(3)在比较大小时，通常可利用函数性质(对称性，周期性)将自变量放入至同一单调区间

中进行比较

(-)数形结合比较大小

1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过出草图观察得到诸如“距轴越近，

函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系

（1）若/%（）关于％=4轴对称，且4（,+00）单调

增，则图像可能以下三种情况,可发现一个共同点:

自变量距离轴越近，其函数值越小

2（）若“X）关于X=4轴对称，且4（,48）单调

减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点:

自变量距离轴越近，其函数值越大

2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。

抓住共同的函数为突破口，将其余函数的图像在同一坐标系下，观察交点的位置即可判

断出自变量的大小

三、例题精析：

2-Y

例1：对于R上可导的任意函数/x（）,若满足了画《0,则必有（）

A./（1）+/3（）＜2/2（）B./（1）+/3（）＜2/2（）

C-〃1）+〃3）＞2〃2）D./1（）+/3（）＞2/2（）

2一无

思路：由可按各项符号判断出2（—）与/X（）异号，即＜2时，

/（）

/（）＜0,＞2时,/（）＞0.•./X（）在—（8,2）单调递减，在2（,+8）上单调递增

.••/（》需=〃2）,进而〃1）＞/2（）,〃3）＞〃2）.•・/（1）+./•⑶＞2〃2）

答案：C

小炼有话说：相乘因式与零比较大小时，可分别判断每一个因式的符号，再判断整个式子的

符号。这样做可以简化表达式的运算。

例2：已知定义域为R的奇函数/()的导函数为/(),当XHO时，/()+/(D0,

若〃=/=-2—2)，c=ln2/(ln2),则下列关于a,b,c的大小关系正确的是()

A.hacB.acbC.cbaD.hca

思路：观察所给不等式，左侧呈现轮流求导的特点，所比较大小的的结构均为4()的

形式，故与不等式找到联系。当0时，f()+0=f(