2024年《中国东南“国科英才杯”》竞赛试题高二组.pdf

第二十一届中国东南地区数学奥林匹克

浙江·温州

高二年级第一天

2024年7月30日上午8:00-12:00

1.证明：存在有理数集ℚ的无限子集和，同时满足以下三个条件：

(i)∪=ℚ,∩=∅；

(ii)∀,∈⇒∈,∀,∈⇒∈；

(iii)∀∈ℤ,(,+1)∩≠∅,(,+1)∩≠∅.（杨晓鸣供题）

证明：

给出和的构造：

+

={∈ℚ:∈ℤ,∈ℤ\{0},(,)=1,2()≢2()(mod2)}

+

={∈ℚ:∈ℤ,∈ℤ\{0},(,)=1,2()≡2()(mod2)}∪{0}

这里2(),2()分别为,所包含的2的幂次.

（6分）

显然,满足∩=∅,∪=ℚ,∀,∈⇒∈，且∀,∈⇒∈.

对任意整数，2+1∈,4+1∈，所以(,+1)与,交集均非空.

24

故这样的构造满足条件要求.

（15分）

注：给出和的构造6分；说明构造满足要求9分；如果对分类讨论(,+1)

与,交集是否均非空可按完成情况酌情给分.

2.设,,,∈(0,1)，满足2+2+2+2=3.证明：

1−21−21−21−22

+++.（李胜宏供题）

++++3

2222

解答：设=1−,=1−,=1−,=1−，则+++=1.

注意到1−+1−1−−+1⇔2√(1−)(1−)21−−

√√√√

成立，从而

1−2

==.

+√1−+√1−√1−−+1√++1√+1

设()=，则

√+1

11−

′′()=−2−40,