2025届高考数学二轮专题复习20函数与方程.docxVIP

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函数与方程

1．函数零点存在性推断

1．函数的零点所在的区间为（）（，，）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，由对数函数和幂函数的性质可知，

函数在时为单调增函数，

，，

，，

因为在内是递增，故，

函数是连续函数，由零点推断定理知，的零点在区间内，故选B．

2．心理学家有时运用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中A表示须要记忆的量，表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词．则记忆率所在区间为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将代入，解得，

其中单调递减，而，，

而在上单调递减，所以，

结合单调性可知，即，

而，其中为连续函数，故记忆率所在区间为，

故选A．

2．方程的根与函数零点的个数

1．已知函数，则函数的零点个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】由可得．

当时，或（舍去），

当时，或．

故是的零点，

是的零点，

是的零点．

综上所述，共有个零点，故选C．

2．已知定义域为R的奇函数满意，当时，，则函数在上零点的个数为（）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】D

【解析】因为是定义域为R的奇函数，所以．

因为，令，得，

即，所以．

又因为为奇函数，所以，所以，

所以是以4为周期的周期函数．

依据周期性及奇函数的性质画出函数在上的图象，如图．

由图可知，函数在上有零点，，，，，，0，0．5，1，2，3，3．5，4，共13个零点，

故选D．

3．已知函数是定义在上的偶函数，满意，当时，则函数的零点个数是（）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【解析】因为，所以是周期函数，周期为2，且是定义在上的偶函数，依据时的解析式，结合函数性质，可以画出如下图所示的图象，

的零点个数，等价于的零点个数，即的图象与两个图象的交点个数，

所以视察图象可得零点个数为7，故选C．

4．若函数满意对都有，且为R上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（）

A．11 B．12 C．13 D．14

【答案】C

【解析】由为R上的奇函数，

①，

又②，

由②－①为周期为2的周期函数，

而又，

当时，当时，．

又当时，单调递增，且．

故可作出函数的大致图象如图：

而集合A中的元素个数为函数与图象交点的个数，

由以上分析结合函数性质可知，3为集合A中的一个元素，

且与在（1，3），（3，5），．．．，（23，25）中各有一个交点，

∴集合中的元素个数为13，故选C．

3．利用函数零点求参数的范围

1．已知函数，若方程恰好有四个实根，则实数k的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】当时，，的图象向右平移2个单位，

再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，也即在区间上的图象．

以此类推，则在区间上的图象如图所示．

记，若方程恰好有四个实根，

则函数与的图象有且只有四个公共点，

由图得，点，，，，

则，，，，则，

所以与的图象有且只有四个公共点时，，故选D．

2．已知函数，若函数有三个零点，

则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数有三个零点转化为与有三个交点，

，当，

在单调递增，单调递减，时取到最大值1．

作出图象如下图，由图象可知，故选B．

3．已知函数有两个零点，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得到；

令，由题意可以看作是与有两个交点，

则，其中，，

是单调递减的，并且时，，

因此函数存在唯一零点，；

当时，；时，；，

得如下函数图象：

明显当时，与有两个交点，故答案为B．

4．已知函数，若函数有9个零点，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为时，，所以在上是周期函数，

又当时，，所以，

所以在上的图象如图所示，

若函数有9个零点，则函数与的图象有9个不同的交点，

当时，易得函数与的图象有且只有2个不同的交点，不符合题意；

当时，要使函数与的图象有9个不同的交点，

由图可知，解得，

综上，实数的取值范围为，故选A．

5．已知函数，若关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意得：函数的定义域为，

对函数求导：，

令，可知，

令，可知或，

所以在和上单调递减，在上单调递增．

故在时，有微小值为，

令，则方程化成，

令，则，或（舍去），依据图象可知此时只有一个解，解除A；

令，则，或（舍去），依据图象可知此时只有一个解，解除C；

令，则，或，依据图象可知此时有两个解，故解除D，

故选B．

6．已知函数，若函数有6个零点，则m的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，则，作出函数的大致图象，

如图所示，

则函数