2025届高考数学一轮复习第九章计数原理概率随机变量及其分布列9.4古典概型与几何概型学案理新人教版.docVIP

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第四节古典概型与几何概型

1．基本领件的特点

(1)任何两个基本领件是互斥的．

(2)任何事务(除不行能事务)都可以表示成基本领件的和．

2．古典概型

(1)定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型．

①试验中全部可能出现的基本领件只有有限个．

②每个基本领件出现的可能性相等．

(2)计算公式：P(A)＝eq\f(A包含的基本领件的个数,基本领件的总数).

(3)假如一次试验中可能出现的结果有n个，而且全部结果出现的可能性都相等，那么每一个基本领件的概率都是eq\f(1,n)；假如某个事务A包括的结果有m个，那么事务A的概率P(A)＝eq\f(m,n).

3．几何概型的定义

假如每个事务发生的概率只与构成该事务区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

4．几何概型的特点

(1)无限性：试验中全部可能出现的结果(基本领件)有无限多个．

(2)等可能性：试验结果在每一个区域内匀称分布．

5．几何概型的概率公式

P(A)＝eq\f(构成事务A的区域长度（面积或体积）,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）).

1．一个概念一测度

几何概型的概率公式中的“测度(即构成事务的区域)”只与大小有关，而与形态和位置无关．

2．两种方法

推断几何概型几何度量形式的两种方法：

(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．

(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量是否在等可能改变的区域．

1．(基本方法：与数字有关的古典概型)一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是()

A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)

C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)

答案：D

2．(基本方法：区间长度型的几何概型)在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()

A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)

C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)

答案：B

3．(基本应用：与所取元素有关的古典概型)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为()

A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)

C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)

答案：A

4．(基本实力：与安排有关的古典概型)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参与某项活动，则甲被选中的概率为________．

答案：eq\f(2,3)

5．(基本实力：面积型的几何概型)求在半径为r的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆内接等腰直角三角形内的概率为________.

答案：eq\f(1,π)

题型一古典概型

[典例剖析]

[典例1](1)(列举法)两名同学分3本不同的书，则其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为()

A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)

C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)

解析：设3本不同的书分别为a，b，c，两名同学分3本不同的书，基本领件有(0，3)，(1a，2)，(1b，2)，(1c，2)，(2，1a)，(2，1b)，(2，1c)，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本领件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).

答案：B

(2)(列举法)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参与活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.嘉奖规则如下：

若xy≤3，则嘉奖玩具一个；若xy≥8，则嘉奖水杯一个；其余状况嘉奖饮料一瓶．

假设转盘质地匀称，四个区域划分匀称．小亮打算参与此项活动．

①求小亮获得玩具的概率；

②请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

解析：①基本领件总数为16.

记“xy≤3”为事务A，则事务A包含的基本领件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，

∴P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16).

②记“xy≥8”为事务B，“3xy8”为事务C，

则事务B包含的基本领件共6