2025届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布9.5古典概型几何概型学案理含解析北师.docVIP

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第五节古典概型、几何概型

命题分析预料

学科核心素养

本节是高考的热点，常以选择题和填空题的形式出现，主要考查古典概型，与长度、面积有关的几何概型，有时也与其他学问进行交汇命题，以解答题的形式出现，如概率与统计和统计案例的综合，求解时要驾驭古典概型和几何概型的应用条件和计算公式．

本节通过古典概型和几何概型考查考生的数学运算、数学建模等核心素养．

授课提示：对应学生用书第215页

学问点一古典概型

1．古典概型特点

（1）试验中全部可能出现的基本领件只有有限个，即有限性Ｗ．

（2）每个基本领件发生的可能性相等，即等可能性Ｗ．

2．古典概型概率公式

P（A）＝eq\f(A包含的基本领件的个数,基本领件的总数)＝eq\f(m,n)．

?温馨提示?

1．在计算古典概型中试验的全部结果数和事务发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．

2．概率的一般加法公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）中，易忽视只有当AB＝?，即A，B互斥时，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），此时P（AB）＝0．

1．从2名男同学和3名女同学中任选2人参与社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）

A．0．6 B．0．5

C．0．4 D．0．3

解析：设2名男同学为a，b，3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共10种，而都是女同学的情形有（A，B），（A，C），（B，C），共3种，故所求概率为eq\f(3,10)＝0．3．

答案：D

2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球．从中任取一球，则取到白球的概率为_________．

解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)．

答案：eq\f(2,5)

3．（易错题）从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参与学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为_________．

解析：采纳间接法，从某班5名学生中任选3人共有10种选法，3名学生全为男生的有1种选法．至少有1名女生的对立事务是没有女生，即全为男生，所以所求概率P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10)．

答案：eq\f(9,10)

学问点二几何概型

（1）定义：假如每个事务发生的概率只与构成该事务区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

（2）特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；

②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．

（3）公式：

P（A）＝eq\f(构成事务A的区域长度（面积或体积）,试验的全部结果所构成区域长度（面积或体积）)．

?温馨提示?

易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．

1．在线段[0，3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为_________．

解析：坐标小于1的区间为[0，1），长度为1，[0，3]的区间长度为3，故所求概率为eq\f(1,3)．

答案：eq\f(1,3)

2．设不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率为_________．

解析：如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π．因此满意条件的概率是eq\f(4－π,4)＝1－eq\f(π,4)．

答案：1－eq\f(π,4)

授课提示：对应学生用书第216页

题型一几何概型

考法（一）与长度、角度有关的几何概型

[例1]（1）从区间[－2，2]中随机选取一个实数a，则函数f（x）＝4x－a·2x＋1＋1有零点的概率是（）

A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)

C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)

[解析]令t＝2x，函数有零点就等价于方程t2－2at＋1＝0有正根，进而可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,t1＋t2＞0,t1t2＞0))?a≥1，又a∈[－2，2]，所以函数有零点的实数a应满意a∈[1，2]，故P＝eq\f(1,4)．

[答案]A

（2）如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝eq\f(1,3)AB，延长OP交弧