专题10 等腰三角形中的数学思想方法（解析版）.pdfVIP

专题10等腰三角形中蕴含的数学思想方法（解析版）

类型一方程思想

1．（2022秋•南通期末）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠

DCE的度数为（）

A．30°B．36°C．45°D．48°

【思路引领】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y，根据等

边对等角得出∠ACE＝∠AEC＝x+y，∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣y．然后在△DCE中，利

用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解方程即可求出∠DCE的大小．

【解答】解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y．

∵AE＝AC，

∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，

∵BD＝BC，

∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y．

在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，

∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，

解得x＝45°，

∴∠DCE＝45°．

故选：C．

【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的

关键．

2．（2022春•景德镇期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝19°，∠EDC＝11°，则∠DAE

的度数为（）

A．59°B．57°C．61°D．60°

【思路引领】设∠ADE＝x°，则∠B+19°＝x°+11°，可用x表示出∠B和∠C，再利用外角的性质可

表示出∠DAE和∠DEA，在△ADE中利用三角形内角和求得x，即可得∠DAE的度数．

【解答】解：设∠ADE＝x°，且∠BAD＝19°，∠EDC＝11°，

∴∠B+19°＝x°+11°，

∴∠B＝x°﹣8°，

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠B＝x°﹣8°，

∴∠DEA＝∠C+∠EDC＝x°﹣8°+11°＝x°+3°，

∵AD＝DE，

∴∠DEA＝∠DAE＝x°+3°，

在△ADE中，由三角形内角和定理可得

x+x+3+x+3＝180，

解得x＝58，即∠ADE＝58°，

∴∠DAE＝61°

故选：C．

【总结提升】本题主要考查等腰三角形的性质及外角的性质，用∠ADE表示出∠DAE和∠DEA是解题的

关键．

3．（2022秋•富阳区校级月考）如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，且BD

＝BC，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是45°．

【思路引领】根据同一个三角形中等边对等角的性质，设∠ABD＝x，结合三角形外角的性质，则可用x

的代数式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，运用三角形的内角和为180°，可求∠A的度数．

【解答】解：∵DE＝EB

∴设∠BDE＝∠ABD＝x，

∴∠AED＝∠A＝2x，

∴∠BDC＝∠C＝∠ABC＝3x，

在△ABC中，3x+3x+2x＝180°，

解得x＝22.5°．

∴∠A＝2x＝22.5°×2＝45°．

故答案为：45°．

【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，注意掌握，①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是

180°”这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．

4．（2022秋•靖江市校级月考）已知，在△ABC中，点D在BC上，点E在BC的延长线上，且BD＝BA，

CE＝CA．

（1）如图1，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，则∠DAE的度数为45°（直接写出结果）；

（2）如图2，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？

【思路引领】根据三角形的内角和得到∠ACB的度数，根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠E，根据

三角形的外角的性质得到∠E，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ADB，根据三角形的外角

的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝45