专题15 等腰三角形中综合问题的探究（原卷版）.pdfVIP

专题15等腰三角形中综合问题的探究（原卷版）

类型一等腰三角形、角平分线与平行线的知二推三模型

1．（2022秋•汉寿县期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交

AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：△BDF和△CEF都是等腰三角形；DE＝BD+CE；

①②③

1

+

△ADE的周长等于边AB与AC的和；④BF＝CF；⑤∠BFC＝90°∠A．其中一定正确的是（）

2

A．①②⑤B．①②③④C．①②④D．①②③⑤

2．（2023秋•南宫市期末）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，EF∥AB交AC于

点F．求证：△FEC是等腰三角形．

3．（2020秋•播州区期末）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．

（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；

（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．

类型二等腰三角形与轴对称或垂直平分线的综合

4．（2023秋•惠东县期末）如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点

为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．

（1）求证：CD＝CB；

（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；

（3）请判断线段PB，PC与PE三者之间的数量关系，并证明你的结论．

5．（2023春•凤城市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于点

E．

（1）若∠ABE＝50°，求∠EBC的度数；

（2）若△ABC的周长为43cm，BC的长为11cm，求△BCE的周长

类型三等腰三角形与翻折或旋转变换的综合

6．如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△

CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ．

（1）证明：CP＝CQ；

（2）求∠PCQ的度数；

（3）当点D是AB中点时，请直接写出△PDQ是何种三角形．

7．（2023•昌平区二模）在等边△ABC中，点D是AB中点，点E是线段BC上一点，连接DE，∠DEB＝α

（30°≤α＜60°），将射线DA绕点D顺时针旋转α，得到射线DQ，点F是射线DQ上一点，且DF＝

DE，连接FE，FC．

（1）补全图形；

（2）求∠EDF度数；

（3）用等式表示FE，FC的数量关系，并证明．

8．（2022春•绥棱县校级期末）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE

绕点C顺时针旋转，旋转角为a（旋转角0°＜a＜360°），请探究下列问题：

（1）如图2，当旋转角满足0°＜a≤60°时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由；

（2）如图3，当旋转角满足60°＜a≤120°时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由；

（3）当DE∥BC时请直接写出旋转角的度数．

类型四平面直角坐标系背景下的等腰三角形

9．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A点坐标为（0，1），

点B为y轴上位于A点上方的一个动点，以BP为边向BP的右侧作等边△PBC，连接CA，并延长CA

交x轴于点E．

（1）求证：OB＝AC；

（2）当点B在运动时，AE的长度是否发生变化？请说明理由