2025高考数学临门一脚 大题07导数（5大经典题型）（含答案解析）.docxVIP

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大题07导数

函数与导数解答题，难度较大，一般与函数结合考察，研究函数的单调性与最值等问题，综合考察时属于难题，近两年高考第21题都考察到导数.

从近几年的命题情况来看，常涉及的背景函数有：指数函数、对数函数、分式函数、三次函数、三角函数.涉及的命题点有：求切线方程，判断单调性，求单调区间、极值、最值、参数范围，零点问题，证明不等式问题，不等式恒成立问题等.常涉及的数学思想有：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等.

解题时，无论是单调性、极值、最值问题还是不等式问题，一般需要先求出函数的导数，然后通过导数研究函数的单调性来求解，因此掌握导数与函数的单调性的关系尤为重要.求解过程中，注意内容书写的规范性和完整性.

题型一：利用导数求函数单调性

（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知函数f(x)=ex(x2+x)，曲线y=f(x)在点(a,f(a))

(1)当a=1时求g(x)的解析式；

(2)当a0时，判断函数F(x)的单调性并说明理由．

【答案】(1)g(

(2)递减区间为(?∞,a)，递增区间为

【解析】（1）函数f(x)=ex(x

则函数f(x)的图象在(1,2e)处的切线方程为：y

所以g(x)

（2）由（1）知，f′(a

曲线y=f(x)

则g(x

=(

F(

求导得F′(x

令?(x

=(2x+3)

求导得φ′(x)=(2x+5)ex，当

函数φ(x)在(?∞,?

故φ

当a0时，(a2+3a

函数?(x)在R

则当xa时，?(x)0，即F

当xa时，?(x)0，即F

所以当a0时，函数F(x)的单调递减区间为

利用导数求函数单调区间的思路：解不等式f（x）＞0或f（x）＜0求出单调区间.若导函数对应的不等式不可解，则令导函数为新函数，借助新函数的导数求解.

注意（1）求函数的单调区间，要在函数的定义域内进行；（2）一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.

求解含参函数的单调性的技巧

一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，主要是：（1）讨论f（x）＝0是否有根；（2）讨论f（x）＝0的根是否在定义域内；（3）讨论根的大小关系.

注意若导函数是二次函数的形式，一般还要讨论二次项系数的正负及是否为0，判别式Δ的正负等.

已知函数的单调性求参数的解题技巧

（1）若可导函数f（x）在区间D上单调递增（或递减），则f（x）≥0（或f（x）≤0）对x∈D恒成立问题.

注意“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.

（2）若可导函数f（x）在某一区间上存在单调区间，则f（x）＞0（或f（x）＜0）在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式有解问题.

（3）若f（x）在区间D上不单调，则函数f（x）在区间D上存在变号零点.也可先求出

f（x）在区间D上单调时参数的取值范围，然后运用补集思想得解.

若已知f（x）在区间I（含参数）上的单调性，则先求出f（x）的单调区间，然后令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围.

函数与导数问题的答题策略

1.定义域优先.在利用导数讨论函数的单调性时，要先确定函数的定义域，求单调区间必须在定义域内进行.

2.正确运用公式与法则.熟练利用基本初等函数的求导公式与法则，正确求导是解题的关键.注意对复合函数求导法则的运用.

3.分类讨论做到不重不漏.分类讨论是难点，需明晰分类的标准，要做到合理分类，不重不漏.

4.会构造函数.正确构造函数，利用导数判断新构造函数的单调性，利用函数的性质求解.

5.会转化.会把不等式问题转化为函数的最值问题，会分离参数或用分析法转化，简化后求解.

1.（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数f(x)=lnx(x+a)

若函数f(x)在(0,?a)上单调递增，求实数a的取值范围；

【答案】(?∞,?

【解析】定义域为{x|x

f′

要使f(x)在(0,?

又x∈(0,?a)

只需1+ax?2ln

即a≤2xln

令g(x)=2

则g′

令g′(x

解得x=

∴当x∈(0,1e

当x∈(1e

∴g(x)在(0,

∴g(

∴a≤?

2．（24-25高三上·上海·期中）给定函数fx，设gx=fxsinx，若存在实数p0,q0，使得gx在区问p,q上是严格单调函数，则称p,q

(1)判断fx=

【答案】(1)不存在；理由见解析

【解析】当fx=sinx

此时g(x)为偶函数，又g(x

故不存在闭区间p,qp0,q0

即fx

题型二：利用导数求函数极值与最值

1.已知函数f(x)=lnx(x+a)

(1)若a=0，求函数f(x)的极值；

（2)若a=?1，求函数f(x)在0,1上的极值点的个数.

【答案