（暑期班）高一数学(人教A版必修一)暑假讲义第02讲 集合间的基本关系（解析版）.docVIP

第02讲集合间的基本关系

【人教A版2019】

·模块一子集与真子集

·模块二集合相等与空集

·模块三集合间关系的性质

·模块四课后作业

模块一

模块一

子集与真子集

1．子集的概念

2．真子集的概念

【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.

(2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.

(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.

(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集.

(5)若AB，且A≠B，则AB.

【考点1子集、真子集的概念】

【例1.1】（2022秋·广东揭阳·高一校考阶段练习）下列选项中正确的有（????）

A．{质数}?{奇数}；

B．集合{1,2,3}与集合{4,5,6}没有相同的子集；

C．空集是任何集合的真子集；

D．若A?B，B?C，则A?C；

【解题思路】A.举反例判定该选项错误；B.集合{1,2,3}与集合{4,5,6}有相同的子集?，所以该选项错误；C.空集是任何非空集合的真子集，所以该选项错误；D选项正确.

【解答过程】解：A.2是质数，但是它不是奇数，所以{质数}?{奇数}错误，所以该选项错误；

B.集合{1,2,3}与集合{4,5,6}有相同的子集?，所以该选项错误；

C.空集是任何非空集合的真子集，所以该选项错误；

D.若A?B，B?C，则A?C，所以该选项正确.

故选：D.

【例1.2】（2023·高一课时练习）已知A是非空集合，则下列关系不正确的是（????）

A．A?A B．A?≠A C．

【解题思路】根据集合间的关系，以及子集，真子集，空集的定义即可求解.

【解答过程】由于A是非空集合，所以A?A，??A，??≠A，但是A

故选：B.

【变式1.1】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12，则a+b等于（????

A．1 B．3 C．4 D．6

【解题思路】首先列出集合A的非空子集，即可得到方程，解得即可.

【解答过程】解：集合A=a,b的非空子集有a、b、a,b

所以a+b+a+b=12，

解得a+b=6.

故选：D.

【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）设集合P1=x|x2+ax+10，P2=x|x2

A．对任意a，P1是P2的子集，对任意的b，Q1

B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1

C．存在a，使得P1不是P2的真子集，对任意的b，Q1

D．存在a，使得P1不是P2的子集，存在b，使得Q1

【解题思路】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断.

【解答过程】解：对于集合P1=

可得当m∈P1，即m2+am+10，可得m2+am+20，即有m∈P

当b=5时，Q1=x|x2+x+50=

当b=1时，Q1=x|x2+x+10=R，

综上有，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1

故选：B.

【考点2有限集合子集、真子集的确定】

【例2.1】（2023·全国·高三对口高考）若集合A满足{1,2}?A?{1,2,3,4,5}，则集合A所有可能的情形有（????）

A．3种 B．5种 C．7种 D．9种

【解题思路】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可.

【解答过程】由{1,2}?A?{1,2,3,4,5}，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，

依次有以下可能：1,2,

故选：C.

【例2.2】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知A=1,2，B=1,2,6,7,8，且A?C?B，满足这样的集合C的个数（

A．6 B．7 C．8 D．9

【解题思路】由集合间的基本关系A?C?B，对集合C中元素个数进行分类讨论，列举出所有可能即可得出结果.

【解答过程】根据题意可知，集合C还应包含集合B中除元素1，2之外的其他元素；

若集合C中有三个元素，则C可以是1,2,6,，

若集合C中有四个元素，则C可以是1,2,6,7，

若集合C中有五个元素，则C可以是1,2,6,7,8；即这样的集合C的个数为7个.

故选：B.

【变式2.1】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知集合A={?1,0},B={1,2}，则集合C=zz=x

A．7 B．8 C．15 D．16

【解题思路】先根据题意求出集合C，再求其真子集的个数.

【解答过程】当x=?1,y=1时，z=(?1)

当x=?1,y=2时，z=(?1)

当x=0,y=1时，z=0

当x=0,y=2时，z=0

所以C=z

所以集合C的真子集的个数为24

故选：C.

【变式2.