高中数学数列专项练习 导数与数列放缩.pdfVIP

导数，定积分与数列不等式

导数与数列不等式

+

1.由不等式InxWx—1可得：-^ln(-+l)-,ne^.

n+1nn

例1.(2017全国3卷)已知函数/(%)=x-l-〃lnx.

(1)若/(%)20,求L的值;

(2)设加为整数，且对于任意正整数“，(l+1)(l+^)(l+^)m,求加的最小值.

解析：(2)由(1)知当xe(l,+oo)时，x-l-lnx0,令x=l+5得ln(l+/)《，

从而ln(l+L)+ln(l+[)+…+ln(l+5)L+]+…+5=1—[1.

故(1+5)(1+了~-(1+5^)6,而(1+])(1+^7)(1+2,所以加的最小值为3.

练习.已知函数/(x)=〃lnx+x2,其中々ER且〃。0.

(1)讨论了⑶的单调性；

2

(2)当々=1时，证明：f(x)x+x-l；

(3)求证：对任意的“cN*且”22,都有：++…[l+，]e.(其中

e72.718为自然对数的底数)

解析：(1)函数/⑺的定义域为(0，入)，八尤)=@+2x=二，

XX

①当。0时，(。)0,所以73在(0,+◎上单调递增；

②当。0时,令八元)=0,解得x=『|,

2

当0xJ|时，a+2x0,所以尸。)0,所以〃x)在0,上单调递减，

[a

,0+2/0,所以r(尤)。，所以x)在-，+上单调递增.

2-°°

综上，当。0时，函数/(X)在(0,+8)上调递增;

Lj上单调递减,

当”0时,函数/(X)在,+8上单调递增.

22

(2)当々=1时，/(x)=lnx+x,要证明/(x)x+x-l,

即证即lnx-x+l0,

1—jr

设g(x)=ln%—%+l,贝！|/(%)=,令g(%)=0得，可得了=1,

当无£(0,1)时，g(%)0,当%£(1,+8)时，g(x)v。.

所以g(%)Wg(l)=。，即Inx—x+IWO,故/(x)W/+%_1.

(3)由(2)可得InxK%-1,(当且仅当％=1时等号成立)，

令x=l+—〃=1,2,