北京市门头沟区2024-2025学年高三下学期3月一模数学试题及答案.docx

门头沟区2025年高三年级综合练习

数学

2025.3

本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

解不等式，根据集合的运算即可得解.

解析：由可得，又，

所以，即为.

故选：D.

2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

先根据复数与复平面内点的对应关系求出复数，再根据复数的除法运算法则计算.

解析：已知复数对应的点的坐标是，所以.?

将代入，可得.

即：.

故选：B.

3.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（）

A. B. C. D.

【答案】A

根据常见函数的奇偶性和单调性进行判断即可.

解析：对于A，是奇函数，在上单调递增，满足条件；

对于B，是奇函数，因为导函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上不是单调函数，不满足条件；

对于C，的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不满足条件；

对于D，是奇函数，但在上不是单调函数，不满足条件.

故选：A.

4.“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C

法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算,即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断.

解析：法一：由题意，联立方程可得，

当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点；

当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.

所以，直线与双曲线只有一个公共点时，.

所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.

法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图，

根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有交点.

所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.

故选：C.

5.已知向量，满足，，且，的夹角为，则（）

A. B. C.5 D.10

【答案】C

运用向量的数量积的运算和向量的坐标运算即可.

解析：由题意得

.

故选：C.

6.已知圆，直线，当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则的最大值为（）

A.0 B. C.1 D.

【答案】D

利用直线与圆的位置关系构造不等式即可求得.

解析：由圆可知圆心，半径；

根据题意若过直线上任意一点总能作圆的切线，可知直线和圆相离或相切；

因此圆心到直线的距离，解得，

因此的最大值为.

故选：D

7.已知函数，满足，且在区间上具有单调性，则的值可以是（）

A. B. C. D.

【答案】B

由满足，且在区间上具有单调性，得到为函数的对称中心，根据三角函数的性质，得到，结合选项，即可求解.

解析：因为满足，且在区间上具有单调性，

则点和关于点对称，

即为函数的对称中心，

又由函数的零点为，解得，

所以，解得，

当时，，即的值可以是.

故选：B.

8.某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，，顶点到底面的距离为3，则点到平面的距离为（）

A. B. C. D.

【答案】C

根据三棱锥体积公式首先求得三棱锥的体积，再换底表示三棱锥的体积，即可求得点点到平面的距离.

解析：

因为，且底面是等腰直角三角形，，

所以点在平面上的射影为边的中点，在直角三角形中，由勾股定理得,所以,

又因为底面是等腰直角三角形，，

;

设点到平面的距离为，则

,

所以.

故选：C

9.已知函数，若既不存在最大值也不存在最小值，则下列，关系中一定成立的是（）

A. B. C. D.

【答案】B

先分析函数在时的单调性与值域，再结合既不存在最大值也不存在最小值这一条件，分析函数在时的情况，进而得出，的关系.

解析：当时，，对其求导可得.

因为恒成立，所以在上单调递增.

此时.

，，则，故在上函数值的取值范围为.

当时，，的值域是，所以的值域是.

因为既不存在最大值也不存在最小值，所以且，即且.

选项A：由且，不能推出，例如，时，，所以A选项错误.

选项B：前面已推出，所以B选项正确.

选项C：由且，不能得出，例如，时，，所以C选项错误

选项D：由且不能得出，例如，时，，所以D选项错误.

故选：B.

10.已知函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（）

A