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等差数列前n项和公式教学设计

??一、教学目标

1.知识与技能目标

学生能理解等差数列前\(n\)项和公式的推导过程，掌握等差数列前\(n\)项和公式。

能够运用等差数列前\(n\)项和公式解决相关的等差数列求和问题。

2.过程与方法目标

通过公式的推导过程，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，体会从特殊到一般的数学思想方法。

经历公式的推导过程，让学生进一步掌握数列求和的基本方法，提高学生的运算能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标

通过探究活动，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

让学生在合作交流中，感受数学的严谨性，培养学生的团队合作意识。

二、教学重难点

1.教学重点

等差数列前\(n\)项和公式的推导及应用。

2.教学难点

等差数列前\(n\)项和公式推导思路的获得。

三、教学方法

讲授法、讨论法、探究法相结合

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）

1.展示问题

泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一，位于印度阿格拉市，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少颗圆宝石吗？

设计意图：通过展示泰姬陵的图片，引出一个与等差数列求和相关的实际问题，激发学生的学习兴趣和好奇心，为新课的学习做好铺垫。

2.引导思考

这个问题实际上就是求首项为\(1\)，公差为\(1\)的等差数列前\(100\)项的和。那么如何来求这个和呢？这就是我们本节课要学习的内容等差数列前\(n\)项和公式。

（二）讲解新课（25分钟）

1.公式推导

问题1：如何求\(1+2+3+\cdots+100\)的和？

方法一：高斯算法

学生可能会想到高斯小时候的算法，即\(1+100=101\)，\(2+99=101\)，\(\cdots\)，\(50+51=101\)，共有\(50\)组，所以\(1+2+3+\cdots+100=\frac{100\times(1+100)}{2}=5050\)。

教师引导学生分析这种算法的思路，强调首尾配对的方法。

方法二：倒序相加法

设\(S_{100}=1+2+3+\cdots+100\)①

则\(S_{100}=100+99+98+\cdots+1\)②

①+②得：

\(2S_{100}=(1+100)+(2+99)+(3+98)+\cdots+(100+1)\)

即\(2S_{100}=100\times(1+100)\)

所以\(S_{100}=\frac{100\times(1+100)}{2}=5050\)

教师详细讲解倒序相加法的步骤，让学生理解这种方法的原理。

问题2：对于一般的等差数列\(\{a_n\}\)，首项为\(a_1\)，公差为\(d\)，前\(n\)项和\(S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\)，如何求\(S_n\)呢？

同样采用倒序相加法：

\(S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\)③

\(S_n=a_n+a_{n1}+a_{n2}+\cdots+a_1\)④

③+④得：

\(2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n1})+(a_3+a_{n2})+\cdots+(a_n+a_1)\)

因为\(\{a_n\}\)是等差数列，所以\(a_1+a_n=a_2+a_{n1}=a_3+a_{n2}=\cdots\)

即\(2S_n=n(a_1+a_n)\)

所以\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)

又因为\(a_n=a_1+(n1)d\)，将其代入上式可得：

\(S_n=\frac{n[a_1+a_1+(n1)d]}{2}=na_1+\frac{n(n1)}{2}d\)

教师引导学生逐步推导，让学生理解每一步的变形依据，最终得出等差数列前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n1)}{2}d\)。

2.公式讲解

公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)：

其中\(n\)表示项数，\(a_1\)表示首项，\(a_n\)表示末项。这个公式表明，等差数列的前\(n\)项和等于项数乘以首项与末项之和的一半。

公式\(S_n=na_1+\frac{n(n1)}{2}d\)：

其中\(n\)表示项数，\(a_1\)表示首项，\(d\)表示公差。这个公式是通过将\(a_n=a_1+(n1)d\)代入\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)推导出来的。它表明，等差数