汉声数学图画32.数学_橡皮圈_棒球_甜甜圈 .docx

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找一张和这一页差不多大的纸。

用铅笔和尺在纸上画一段线。

从线的左端起，标出四个点。

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现在，揉破这张纸。把纸张开，但不要

把纸摊平，你可以看到纸上的线和四个点。

这是到4的路吗？

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你画在纸上的线在许多方面已经改变了。我们说它已经被扭曲，但并不是这段线所有的性质都改变了。

你可以找出这段线的那些性质没有改变吗？

这段线仍然是连着的，从一端到另一端。而且，如果你从点1开始，沿着线走，就会走到点2，然后点3，最后到点4。

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找一条橡皮筋，把它剪断，这样就可以把橡皮筋拉成一直线。在橡皮筋中央到左端的中点打一个结，在橡皮筋中央到右端的中点再打一个结。

现在，把这条橡皮筋拉长为原来的两、三倍长。不要放松！

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这是另一种扭曲。拉长改变了橡皮筋的许多性质。但同样的，并不是所有的性质都改变了。

你能找出这条橡皮筋的哪些性质没有改变吗？

拉长了的橡皮筋是不是仍然是连着的，从一端到另一端？你打的两个结之间，是不是仍然隔着一段橡皮筋？左边的结是不是仍然比另一个结更接近橡皮筋的左端？

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从前面所提到的两个例子，我们可以看出

线和橡皮筋被扭曲后，有些性质改变了，有

些性质不会改变。我们特别给不会改变的性

质一个名称：“不变性”。

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把线以及不同的图形，经过压缩、卷曲或其他方式的扭曲之后，有些性质会改变，有些性质不会改变。

研究这些不会改变的性质的学科，是“拓朴学”。拓朴学家是研究拓朴学的人。我们处在一个变化万千的世界，所要抓住的就是东西的不变性。

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当一个人要知道有关一般线的一些事情，通常他会仔细的测量线有多长。当拓朴学家看到一条揉皱或拉长的线，他会试着去找出线的不变性，但决不会去测量线有多长。拓朴学家不在乎一条线有多长，或从一地到另一地有多远。拓朴学家关心的是什么呢？譬如说，当你在一个陌生的屋子里，他关心的是你想要知道怎么到厕所这一类的讯息。

如果有人告诉你，厕所离你所站的地方正好是十七公尺五十八公分远，这对你一点帮助也没有。你要的是像下面这样的指示：

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不论距离有多远，只要依照这样的指示，一定可以找到厕所。即使楼梯延长或者走廊缩短，指示仍然有用。

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同时，拓朴学家也关心把一条线弯曲成一个圆之后，所产生的一些变化情形。在一张空白的纸上画一个圆。你知道你画的圆对纸产生了什么影响吗？

圆把纸分成两部分。一部份在圆内，另一部份在圆外。

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你知道这个正方形和三角形在哪一点上和圆很像？

正方形、三角形和圆一样，把纸分成两个部分。一部分在线内，另一部分在线外。

即使是一滴小水滴也是一样。

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依我们的想法，曲线是一条弯曲得很平滑的线。但拓朴学家把任何将纸分成内部和外部的封闭曲线，叫做“简单封闭曲线”。小水滴、圆、三角形和正方形都叫做简单封闭曲线。

在一块橡皮或气球上画一个正方形。现在，你可以把正方形拉成任何弯曲的圆形。

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你可以从这些弯曲的圆形中找出两个不变性吗？

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其中一个不变性是：所有的曲线都将橡皮表面分成内部和外部。另一个不变性是：在封闭曲线上的每一个点的相关位置，都不会改变。A点始终位在B点和D点之间，B点始终位在A点和C点之间等等。

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在另一块橡皮上画圆、三角形、小水滴，或是其他的图形，并且拉拉看，你会把它们拉成什么形状？你能找出这些图形扭曲之后，仍然不变的性质吗？

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你也可以用你的脸来做相同的实验。找一片光亮、弯曲的金属片。烤面包机的侧面就很适合。

当你的脸凑近烤面包机，或远离烤面包机，或从一边转到另一边时，金属片上会出现各种扭曲了的脸型。如果你的头不动，让前额靠近烤面包机，下颚远离烤面包机，那么你的前额看起来非常巨大，下颚看起来非常小。但映在金属片上的脸仍然有两个不变性。

其中一个不变性是脸的曲线，仍然把面包机侧面的金属片分成两部分。一部分在曲线内，另一部分在曲线外。

另一个不变性是脸部的五官，仍然保持原来的相对位置。你的鼻子仍然在前额和嘴巴之间，你的嘴巴仍然在鼻子和下巴之间。

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和圆、正方形、小水滴一样，映在烤面包机上的脸也是简单封闭曲线。这儿也有一个看起来非常简单的封闭曲线，事实上，它可不简单呢！

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你知道原因吗？

因为数字8曲线把纸分成两个内部和一个外部，也就是在曲线内有两个分离的内部，曲线外是一个外部。

你能画一条封闭曲线，把表面画分成一个外部和几个内部吗？

这儿就有一个例子：

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拓朴学家认为，在某一方面来说，棒球和画在纸上的简单封闭曲线很类似。