2024年高考数学一轮复习考点规范练51抛物线含解析新人教A版.docxVIP

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考点规范练51抛物线

基础巩固

1.以抛物线y2=8x上的随意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过肯定点,则这肯定点的坐标是()

A.(0,2) B.(2,0) C.(4,0) D.(0,4)

答案:B

解析:由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,

因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆与抛物线的准线相切,

所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0),选B.

2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()

A.-1716 B.-1516 C.

答案:B

解析:抛物线方程可化为x2=-y4,其准线方程为y=

设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知116-y0=1,y0=-

3.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为()

A.2 B.4 C.8 D.16

答案:B

解析:如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中位线,则|MN|=12(|AC|+|BD|)=4,即M到直线x+1=0的距离为4.故选B

4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AB|=6,则线段AB的中点M的横坐标为()

A.2 B.4 C.5 D.6

答案:A

解析:∵抛物线y2=4x,∴p=2.设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为x0=12(x1+x2)=12(|AB|-p)=

5.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则抛物线C的焦点坐标为()

A.14,0 B.12,0 C.

答案:B

解析:∵抛物线C关于x轴对称,直线x=2垂直于x轴,

又OD⊥OE,∴△ODE是等腰直角三角形.

不妨设点D在第一象限,则点D的坐标为(2,2),将其代入y2=2px,得p=1,

所以抛物线C的焦点坐标为12

6.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为()

A.6 B.5 C.4 D.3

答案:A

解析:抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0),如图,过点A,B分别作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点.连接OB,

则|OB|=12|AF|

∴|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,

∴|BN|=3,∴|AM|=6,故选A.

7.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.?

答案:9

解析:设点M坐标为(xM,yM).抛物线y2=4x的准线为x=-1,由抛物线的定义知xM+1=10,即xM=9.

8.斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.

答案:16

解析:如图所示,

直线与抛物线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),准线方程为x=-1,作AA,BB垂直于准线,交准线于点A,B,由抛物线的定义知|AA|=|AF|,|BB|=|BF|.

|AB|=|AF|+|BF|=|AA|+|BB|=x1+p2+x2+p2=x1+x2

由y=3(x-1),y2

∴x1+x2=103,∴|AB|=103+2=

9.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.

(1)求该抛物线的方程;

(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求

解:(1)由题意得直线AB的方程为y=22·x-p2,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x

由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8

(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,

即x2-5x+4=0,则x1=1,x2=4,

于是y1=-22,y2=42,

从而A(1,-22),B(4,42).

设C(x3,y3),则OC=(x3,y3)=(1,-22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ-22)

又y32=8x3,所以[22(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=

10.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F