2024_2025学年新教材高中数学第四章概率与统计2.5正态分布学案新人教B版选择性必修第二册.docVIP

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正态分布

1．正态曲线

(1)定义：当n充分大时，X～B(n，p)的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”．详细地φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的解析式中含有μ和σ两个参数，其中μ＝E(X)，即X的均值，σ＝eq\r(D（X）)，即X的标准差．一般地φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))对应的图像称为正态曲线．

(2)性质：

①正态曲线关于直线x＝μ对称，具有“中间高，两边低”的特点；

②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；

③曲线的形态由参数σ确定，σ越大，曲线越“胖”；σ越小，曲线越“瘦”．

(3)面积：正态曲线与x轴在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(μ，μ＋σ))内所围面积约为0.341__3，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(μ＋σ，μ＋2σ))内所围面积约为0.135__9，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(μ＋2σ，μ＋3σ))内所围面积约为0.021__5．如图：

为什么σ确定正态曲线的“胖瘦”？

提示：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”．

2．正态分布

(1)定义：一般地，假如随机变量X落在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，b))内的概率，总是等于φμ，σeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))对应的正态曲线与x轴在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，b))内围成的面积，则称X听从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))称为X的概率密度函数，μ是X的均值，σ是X的标准差，σ2是X的方差．

(2)三个特别区间内取值的概率值：

P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，

P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，

P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%．

(3)“3σ原则”：由P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%知，正态变量X在区间[μ－3σ，μ＋3σ]之外取值的概率约为0.3%(这样的事务可看成小概率事务).

3．标准正态分布

(1)标准正态分布的定义：μ＝0且σ＝1的正态分布称为标准正态分布．

(2)Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))的概念：假如X～N(0，1)，那么对于随意a，通常记Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Xa))，即Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))表示N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，a))内所围的面积．

(3)Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))的性质：Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a))＋Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝1．

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)正态曲线是一条钟形曲线．()

(2)正态曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝σ对称．()

(3)Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝0.8413.()

提示：(1)√.由正态分布曲线的形态可知该说法正确．

(2)×.正态曲线关于直线x＝μ对称．

(3)×.Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X2))＝0.5＋0.3413＋0.1359＝0.9772.

2．设X～N(10，0.64)，则D(X)等于()

A．0.8B．0.64C．0.642D．6.4

【解析】选B.因为X～N(10，0.64)，所以D(X)＝0.64.

3．(教材二次开发：练习改编)若随机变量ξ～N(10，σ2)，

P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________．

【解析】由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以

x＝μ＝10为对称轴知，P(9