第27届全国中学生物理竞赛复赛试题及解答().pdf

第27届全国中学生物理竞赛复赛试卷

本卷共九题，满分160分．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算

步骤．只写出最后结果的不能得分．有数字计算的题．答案中必须明确写出数值和单位．填

空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程．

一、（15分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）．若干个

摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减

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小．设重力加速度g=9.80m/s,

1．试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆长），要求满足：(a）每个

摆的摆长不小于0.450m，不大于1.00m;(b）初始时将所有摆球由平衡点沿x轴正

方向移动相同的一个小位移xo(xo0.45m)，然后同时释放，经过40s后，所有的摆能

够同时回到初始状态．

2．在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时

间为________________________________________.

二、（20分）距离我们为L处有一恒星，其质量为M，观测发现其位置呈周期性摆

动，周期为T，摆动范围的最大张角为△θ．假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕

它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量m所满足的方程．

若L=10光年，T=10年，△θ=3毫角秒，M=Ms（Ms为太阳质量），则此行星

的质量和它运动的轨道半径r各为多少？分别用太阳质量Ms和国际单位AU（平均日地

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距离）作为单位，只保留一位有效数字．已知1毫角秒=角秒，1角秒=度，

10003600

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1AU=1.5×10km,光速c=3.010×km/s.

三、（22分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m，半径为R，螺距H=πR，

可绕竖直的对称轴OO′，无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一

质量也为m的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静止于螺

旋环上的某一点A，这时螺旋环也处于静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，

螺旋环便绕转轴OO′，转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为h时，螺

旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小．

四、（12分）如图所示，一质量为m、电荷量为q(q0）的粒子作角速度为ω、半

径为R的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为d(d

R)，在导线上通有随时间变化的电流I,t=0时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的

距离为d+R.若粒子做圆周运动的向心力等于电流i,的磁场对粒子的作用力，试求出电流i

随时间的变化规律．不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响．长直导线电流产生的

磁感应强度表示式中的比例系数k已知．

五、（20分）如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为+Q和-Q(Q0)，

半径分别为R和R/2，小球面与大球面内切于C点，两球面球心O和O’的连线MN沿竖直

方在MN与两球面的交点B、0和C处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计，

有一质量为m，带电荷为q(q0的质点自MN线上离B点距离为R的A点竖直上抛。设静

电力常量为k，重力加度为g.

1．要使质点从A点上抛后能够到达B点，所需的最小初动能为多少？

2．要使质点从A点上抛后能够到达O点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少？

六、（20分）由单位长度电阻为r的导线组成如图所示的正方形网络系列．n=1