含绝对值函数的综合问题一.docVIP

含绝对值函数综合问题一

一、含绝对值函数的最值

1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性

（1）的图像是以原点为顶点的“”字形图像；函数在顶点处取得最小值“”，无最大值；在函数；对称轴为：

（2）图像是以为顶点的“”字形图像；在顶点取得最小值：“”，无最大值；函数在；对称轴为：

（3）函数：

时，函数是以为顶点的“”字形图像；函数在顶点取得最小值：“”，无最大值；函数在；对称轴为：

时，是以为顶点的倒“”字形图像，函数在顶点取得最大值：“”，无最小值；函数在；对称轴为：

2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性

（1）函数的图像是以点为折点的“平底形”图像；在上的每点，函数都取得最小值，无最大值；函数在，在无单调性；对称轴为。

（2）函数：

当时，是以点为折点的“字形”函数图像；在上的每点，函数都取得最大值，在上的每点，函数都取得最小值；函数在，在及上无单调性；对称中心为；

当时，是以点为折点的“反字形”函数图像；

在上的每点，函数都取得最小值，在上的每点，函数都

取得最大值；函数在，在及上无单调性；对

称中心为；

（3）图像是以为折点的折线。

当时，两端向上无限延伸，故最小值，最小值为；

当时，两端向下无限延伸，故最大值，最大值为；

当时，两端无限延伸且平行轴，故既有最大值又有最小值，最大值为；最小值为。

3、含多个绝对值的一次函数的最值、单调性

函数

（1）若，则的图像是以为顶点的“”字形图像

（）当且仅当时，

()函数在，若为等差数列，则图像关于对称

（2）若，则的图像是以点为折点的“平

底形”图像

（）当且仅当，

()函数在，在无单调性。若为等差数列，

则图像关于对称

这一结论从一次绝对值函数图像上了不难看出，当及时，图像是分别向左、右两边向上无限伸展的两条射线，中间各段在区间上均为线段．它们首尾相连形成折线形，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值．

证明：当时，，

由绝对值不等式性质得：

，当且仅当时取“”

，当且仅当时取“”

，当且仅当时取“”；

，当且仅当时取“”；

注意到：，从而当且仅当时，上述个式同时取等号，于是

；

当时，，

由绝对值不等式性质得：

，当且仅当，时取“”

，当且仅当，时取“”

，当且仅当，时取“”；

注意到：，从而当且仅当时，上述各式同时取等号，于是

例题：

1、已知函数在，求实数的范围。

2、已知函数；（1）若在上为增函数，求实数的范围。（2）若函数图像关于对称，求实数。

3、已知函数；（1）若在上存在反函数，求实数的范围。（2）若在上为增函数，求实数的范围。（3）若的图像关于对称，求实数

4、已知函数，若，求实数的范围

5、已知函数；

（1）若的图像关于垂直于轴的直线对称，求的取值集合。

（2）若在上为增函数，求实数的范围。

6、设函数

，且，求所有互异整数的值的和。