湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（五）数学试题.docxVIP

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（五）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．命题：，为真的一个充分不必要条件是（????）

A． B． C． D．

2．已知复数，为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（???）

A． B． C． D．

4．已知圆与圆的公共弦与直线垂直，且垂足为，则圆N的半径为（???）

A． B． C．2 D．

5．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（????）．

A． B．

C． D．

6．近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（????）

A． B． C． D．

7．定义域为的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

8．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（????）

A．这两个球体的半径之和的最大值为

B．这两个球体的半径之和的最大值为

C．这两个球体的表面积之和的最大值为

D．这两个球体的表面积之和的最大值为

二、多选题

9．设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（???）

A．

B．数列为等比数列

C．

D．若，则数列的前10项和为

10．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（????）

A．曲线围成的图形有4条对称轴

B．曲线围成的图形的周长是

C．曲线上的任意两点间的距离不超过5

D．若是曲线上任意一点，的最小值是

11．定义在上的函数同时满足①；②当时，，则（）

A． B．为偶函数

C．，使得 D．

三、填空题

12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则双曲线的离心率为.

13．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为．

14．质点每次都在四边形的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在A点，经过n次移动到达C点的概率为.

四、解答题

15．在中，角的对边分别为，已知.

(1)求；

(2)若，为边的中点，，求.

16．设，.

(1)若，求在处的切线方程；

(2)若，试讨论的单调性.

17．如图，在四棱锥中，平分，，，，为正三角形，．

??

(1)求证：平面平面；

(2)设为上一点，，四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．

18．已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上异于顶点的一动点，的角平分线分别交轴、轴于点．

(1)若，求；

(2)求证：为定值；

(3)当面积取到最大值时，求点的横坐标．

19．给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.

(1)判断、哪个是规范数集，并说明理由；

(2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；

(3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.

注：、分别表示数集中的最小数与最大数.

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

《湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（五）数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

A

B

A

B

B

D

BD

ABD

题号

11

答案

ACD

1．B

【分析】由题意在上恒成立，得，进而得，即得.

【详解】因命题为真，故在上恒成立