2024_2025年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数5.2用二分法求方程的近似解学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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用二分法求方程的近似解

[课程目标]1.了解二分法的原理及其适用条件；2.驾驭二分法的实施步骤；3.体会二分法中蕴含的逐步靠近思想和程序化思想．

学问点一二分法

对于在区间[a，b]上图象连绵不断且__f(a)f(b)0__的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间__一分为二__，使所得区间的两个端点__逐步靠近零点__，进而得到零点__近似值__的方法叫做二分法．

eq\a\vs4\al(【思辨】)推断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，可以采纳“取中点”的方法逐步缩小零点所在的区间．(√)

(2)对于在区间[a，b]上连绵不断且f(a)f(b)0的函数y＝f(x)，不能用“二分法”求出零点．(×)

(3)用“二分法”求函数的零点只是求函数零点的方法之一.(√)

(4)函数y＝x(x－1)2有两个零点，用“二分法”只能求出其中一个零点．(√)

【解析】(1)依据二分法的概念知此说法正确．

(2)如函数y＝x2－2满意f(－2)f(2)0，但在(－2，2)上有两个零点，可依据图象将区间(－2，2)分为(－2，0)和(0，2)，分别用二分法求零点．故此说法不正确．

(3)求函数的零点有多种方法，如解方程，图象法，二分法等．

学问点二二分法求函数零点近似值的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤：

(1)确定零点x0的初始区间__[a，b]__，验证f(a)·f(b)0.这一步的关键在于：①使区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较简单计算；③f(a)，f(b)异号．

(2)求区间(a，b)的__中点c__，利用公式c＝eq\f(a＋b,2)即可．

(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

①若__f(c)＝0__(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c，这一步的目的在于缩小零点所在的区间，也就是所谓的“二分”．

(4)推断是否达到精确度ε：若__|a－b|ε__，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤(2)～(4).

[研读]用二分法求方程的近似解，有两个关键点：一是确定区间[a，b]，要使所确定的区间尽可能小；二是确定精确度，精确度的凹凸确定了二分法的操作次数．

eq\a\vs4\al(【思辨】)推断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)用二分法求出的方程的解都是近似解．(×)

(2)若达到精确度后，则所得区间内的随意值均可作为零点的近似值．(√)

(3)用二分法求函数的零点的精确度取决于区间的长度．(√)

(4)用二分法求函数的零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(×)

【解析】(1)用二分法求出的方程的解可能是近似解，也可能是精确解．

(4)零点可能在右侧区间内，也可能在左侧区间内．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（见学生用书P68）))

eq\o(\s\up7(),\s\do5(二分法的概念))

eq\a\vs4\al(例1)(1)以下每个图象表示的函数都有零点，其中不能用二分法求函数零点的是(C)

(2)在用二分法求函数f(x)的零点近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(D)

A．[1，4]

B．[－2，1]

C．[－2，2.5]

D．[－0.5，1]

【解析】(1)依据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连绵不断，且f(a)·f(b)0，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生改变，因此不能用二分法求函数零点．

(2)因第一次所取的区间是[－2，4]，所以其次次的区间可能是[－2，1]，[1，4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5，1]，[1，2.5]，[2.5，4]，只有选项D符合．

活学活用

已知函数f(x)＝x3－2x－5，f(2.5)0，用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根的区间是__(2，2.5)__．

【解析】因为f(2)＝23－2×2－5＝－10，f(2.5)0，f(3)＝33－2×3－5＝160，所以f(2)·f(2.5)0，所以方程x3－2x－5＝0在(2，2.5)内有实根．

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