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18中学数学研究2019年第4期(上)

例谈极化恒等式在解高考题中的应用

江苏省扬州大学数学科学学院(225002)陆立瑶刘铭鑫

向量问题一直是高考的一个热点问题,而其中有关向量−|2−|39

|2−|)−=−,第一个等号当且仅

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的数量积问题又是较难的一类.从某市高三最近几次的模考当2=−时成立,第二个等号当且仅当|2−|=3时成

中不难看出,学生在求解数量积问题时方法欠缺,得分率较立,两个等号可以同时成立,所以·的最小值为−9.

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低.本文从近几年高考题出发,探索极化恒等式在解向量的

分析这道题的常规解法是将不等式两边平方,构造出

数量积问题中的具体应用,以期帮助学生对此类问题形成正

有关·的形式.但利用极化恒等式的定义,我们也可以将

确的思维模式.

·先进行适当的放缩,进而表示成与2−有关的等式,

一.极化恒等式

在根据不等式的性质求解,在这里要注意等号取得的条件是

1

设、是平面内的两个向量,则有·=4[(+)−否能同时满足.

(−)],其几何意义是:在△ABC中,AD是BC上的中2.利用极化恒等式的几何意义来解题

−→−→

线,则有AB·AC=AD−BD.

例2(2018年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,

上述式子表明向量的数量积既可以用向量的和、差的运

A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为

算来表示1,同时也能用三角形内的中线长和半底边长的平−→−−→

直径的圆C与直线l交于另一点D,若AB·CD=0,则点

方差来表示.此恒等式的精妙之处在于将向量的数量积与向

A的横坐标为.

量的线性运算连为一体,建立了形与数的联系.并且,在此基解设A(a,2a)(a0),则圆心C(a+5,a),记AD

础上,极化恒等式可进行如下推广.2

1[(1)(1)]的中点为E,连接CE,因为AC=CD且E是AD的中点,

推广1·=λ+−λ−.−→−−→−→−−→

4λλ所以CE⊥AD.因为AB·