2025届高中数学微专题39传统不等式的解法练习含解析.docVIP

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微专题39传统不等式的解法

一、基础学问

1、一元二次不等式：

可考虑将左边视为一个二次函数，作出图像，再找出轴上方的部分即可——关键点：图像与轴的交点

2、高次不等式

（1）可考虑采纳“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于的表达式为，不等式为）

①求出的根

②在数轴上依次标出根

③从数轴的右上方起先，从右向左画。犹如穿针引线穿过每一个根

④视察图像，找寻轴上方的部分

找寻轴下方的部分

（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽视，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式

3、分式不等式

（1）将分母含有的表达式称为分式，即为的形式

（2）分式若成立，则必需满意分母不为零，即

（3）对形如的不等式，可依据符号特征得到只需同号即可，所以将分式不等式转化为（化商为积），进而转化为整式不等式求解

4、含有肯定值的不等式

（1）肯定值的属性：非负性

（2）式子中含有肯定值，通常的处理方法有两种：一是通过对肯定值内部符号进行分类探讨（常用）；二是通过平方

（3）若不等式满意以下特点，可干脆利用公式进行变形求解：

①的解集与或的解集相同

②的解集与的解集相同

（4）对于其它含肯定值的问题，则要详细问题详细分析，通常可用的手段就是先利用分类探讨去掉肯定值，将其转化为整式不等式，再做处理

5、指对数不等式的解法：

（1）先讲一个不等式性质与函数的故事

在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：，可发觉不等式的两边做了相同的变换（均加上），将相同的变换视为一个函数，即设，则，因为为增函数，所以可得：，即成立，再例如：，可设函数，可知时，为增函数，时，为减函数，即

由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生变更，取决于函数的增减性。增函数→不变号，减函数→变号

在这种想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如：，则的关系如何？设，可知的单调减区间为，由此可推断出：当同号时，

（2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是还是，其单调性只与底数有关：当时，函数均为增函数，当时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生变更取决于底数与1的大小，规律如下：

时，

时，

进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了

（3）对于对数的两个补充

①对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当时，

②如何将常数转化为某个底的对数。可活用“1”：因为，可作为转换的桥梁

例如：？

某些不等式虽然表面形式困难，但假如把其中一部分视为一个整体，则可对表达式进行简化，进而解决问题，例如：，可将为视为一个整体，令，则，则不等式变为，，两边可同取以2为底对数

6、利用换元法解不等式

（1）换元：属于化归时常用的一种方法，本质是探讨对象的选取，不受题目所给字母的限制，而是选择合适的对象能把生疏问题进行化归，转化为能够解决的问题。如上一个例子中，通过将视为整体，从而将不等式转化为一元二次不等式进行求解

（2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而要先了解新字母的取值范围。即若换元，则先考虑新元的初始范围

（3）利用换元法解不等式的步骤通常为：

①选择合适的对象进行换元：视察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体

②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式

③解出新元的范围

④在依据新元的范围解的范围

二、典型例题：

例1：解下列一元二次不等式：

（1）（2）

（3）（4）

4-1解（1）

4

-1

即与轴的交点为

由图像可得满意的的范围为

不等式的解集为

（2）令，则可解得：

作图视察可得：或

不等式的解集为

（3）令，则中，

则与轴无公共点，即恒在轴上方，

注：由（1）（2）我们发觉，只要是，开口向上的抛物线与轴相交，其图像都是类似的，在小大根之间的部分，在小大根之外的部分，发觉这个规律，在解一元二次不等式时便有了更为简便的口诀

①让最高次项系数为正

②解的方程，若方程有解，则的解集为小大根之外，的解集为小大根之间，若方程无解，则作出图像视察即可

（4）解：先将最高次项系数变为正数：

方程的根为

不等式的解集为

例2：解下列高次不等式：（1）

（2）

12（1）解：

1

2

则的根