2025届高中数学微专题17函数的极值练习含解析.docVIP

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微专题17函数的极值

一、基础学问：

1、函数极值的概念：

（1）极大值：一般地，设函数在点及其旁边有定义，假如对旁边的全部的点都有，就说是函数的一个极大值，记作，其中是极大值点

（2）微小值：一般地，设函数在点及其旁边有定义，假如对旁边的全部的点都有，就说是函数的一个微小值，记作，其中是微小值点

极大值与微小值统称为极值

2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请留意以下几点：

（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它旁边点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的完全的定义域内最大或最小

（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或微小值可以不止一个

（3）极大值与微小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于微小值

（4）函数的极值点肯定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点

3、极值点的作用：

（1）极值点为单调区间的分界点

（2）极值点是函数最值点的候选点

4、费马引理：在处可导，那么为的一个极值点

说明：①前提条件：在处可导

②单向箭头：在可导的前提下，极值点导数，但是导数不能推出为的一个极值点，例如：在处导数值为0，但不是极值点

③费马引理告知我们，推断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：在处不行导，但是为函数的微小值点）

5、求极值点的步骤：

（1）筛选：令求出的零点（此时求出的点有可能是极值点）

（2）精选：推断函数通过的零点时，其单调性是否发生改变，若发生改变，则该点为极值点，否则不是极值点

（3）定性：通过函数单调性推断出是极大值点还是微小值点：先增后减→极大值点，先减后增→微小值点

6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可依据单调性推断是极大值点还是微小指引，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。

7、对于在定义域中到处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。但要留意检验零点能否成为极值点。

8、极值点与函数奇偶性的联系：

（1）若为奇函数，则当是的极大（微小）值点时，为的微小（极大）值点

（2）若为偶函数，则当是的极大（微小）值点时，为的极大（微小）值点

二、典型例题：

例1：求函数的极值.

解：

令解得：的单调区间为：

极大值

的极大值为，无微小值

小炼有话说：（1）求极值时由于要判定是否为极值点以及极大值或微小值，所以可考虑求函数的单调区间，进而在表格中加入一列极值点，依据单调性即可进行推断

（2）在格式上有两点要求：第一举荐用表格的形式将单调区间与极值点清楚地表示出来，其次在求极值点时假如只有一个极大（或微小）值点，则需说明另一类极值点不存在

例2：求函数的极值。

解：，令解得：

的单调区间为：

微小值

的微小值为，无极大值

小炼有话说：本题若运用解极值点，则也满意，但由于函数通过这两个点时单调性没有发生改变，故均不是极值点。对比两个方法可以体会到求极值点归根结底还是要分析函数的单调区间

例3：求函数在上的极值

思路：利用求出的单调区间，进而推断极值状况

解：令解得：

的单调区间为：

的微小值为，极大值为

小炼有话说：在本题中假如仅令，则仅能解得这一个极值点，进而丢解。对于与，实质上在这两点处没有导数，所以在中才无法体现出来，由此我们可以得到以下几点阅历

（1）利用来筛选极值点的方法在有些特别函数中会丢解，此类点往往是不存在导函数的点。例如：中的，是极值点却不存在导数

（2）在找寻极值点时，若能求出的单调区间，则利用单调区间求极值点是牢靠的

例4：已知函数，在点处有微小值，试确定的值，并求出的单调区间。

思路：，由极值点条件可得：，两个条件可解出，进而求出单调区间

解：在点取得微小值

，令，解得或

的单调区间为：

小炼有话说：关注“在点处有微小值”，一句话表达了两个条件，作为极值点导数等于零，作为曲线上的点，函数值为1，进而一句话两用，得到关于的两个方程。

例5：若函数在时有极值，则_________

思路：，依题意可得：，可解得：

或，但是当时，所以尽管但不是极值点，所以舍去。经检验：符合，

答案：

小炼有话说：对于运用极值点条件求参数值时，求得结果肯定要代回导函数进行检验，看导数值为0的点是否是极值点

例6：在处有微小值，则实数为.

思路：,为微小值点，，解得：或，考虑代入结果进行检验：时，，可得在单调递增，在单调递减。进而为微小值点符合题意，而当时，，可得在单调递增，在单调递减。进而为极大值点，故不符合题意舍去

答案：

小炼有话说：在已知极值点求参数