一类函数项级数一致收敛问题一点注记.pdfVIP



形如asninnx和acnosnx的函数项级数一致收敛问题的一点注记

n1n1

在通常的数学分析的中，有这样的一个问题：若数列a单调递减，且la，则

nimn0

n



as和ac都在[（0）上一致收敛。此问题一般用函数项级

ninnxnosnx,2]

n1n1



数一致收敛的雷判别法不难证明，它表明as和ac都在(内闭

ninnxnosnx0,2)

n1n1

一致收敛。

现在，我们来考虑它们在(内一致收敛的条件。实际上，注意到snx和cnx都是

0,2)inos

2(

以为周期，且分别为奇函数和偶函数，我们只须考虑它们在0,)内一致收敛的条件即可。

事实上，注意到一致收敛的准则，我们不难发现，当它们在(内一致收敛时，分别

0,)

有下面的特点：设数列a单调递减，且la，

nimn0

n



若ac在(内一致收敛，则a收敛；

nosnx0,)n

n1n1

1

若as在(内一致收敛，则lna，即a（n）。

ninnx0,)imn0no

n1nn

于是，我们猜想若数列a单调递减，且la，则

nimn0

n



（1）ac在(内一致收敛a收敛；

nosnx0,)n